Biodata Penulis

 

Nama : Adinda P. W. Mulyana

Tanggal Lahir : 21 Maret 2003

Hobi : Traveling & Olah Raga

Daerah Asal : Kota Surabaya 

Status : Single From 2003 - Now

No Wa : 08**********

Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Pattimura Angkatan 2019

MATERI KELAS 12_( GEOMETRI BIDANG RUANG )

 

Geometri Bidang Ruang

Geometri Bidang Ruang: Matematika Wajib

 

Geometri bidang ruang adalah bangun yang memiliki ruang atau bangun tiga dimensi, dimana sisi sisinya saling membatasi

Materi geometri bidang ruang ini pada dasarnya telah diajarkan ketika berada di bangku sekolah dasar. Materi tersebut juga masih dapat dibagi lagi menjadi beberapa jenis bentuk. Apa saja jenis jenis geometri bidang ruang itu? Setiap macam geometri bidang ruang pada umumnya memiliki rumus yang berbeda beda karena dari segi bentuknya juga sudah tidak sama.

Rumus Geometri Bidang Ruang

 dapat diartikan sebagai bangun yang memiliki ruang atau bangun tiga dimensi, dimana sisi sisinya saling membatasi. Bangun ini memiliki rumus volume dan rumus luas permukaannya. Di bawah ini terdapat penjelasan mengenai rumus geometri bidang ruang yaitu sebagai berikut:

Kubus

Jenis yang pertama ialah kubus. Kubus merupakan bangun ruang yang sisi sisinya sama panjang. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar kubus di bawah ini:

 

Kubus memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu sebagai berikut:

·     Volume (isi) Kubus : V = s x s x s atau V = s³

·     Luas permukaan Kubus : Lp = 6 x s²

·     Keliling Kubus = 12 x rusuk

·     Luas salah satu sisi Kubus = rusuk x rusuk

Balok

Jenis geometri bidang ruang selanjutnya ialah balok. Balok merupakan bangun ruang yang memiliki ukuran panjang, lebar dan tinggi. Rumus geometri bidang ruang ini berbeda dengan rumus bangun ruang lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar balok di bawah ini:

 

balok memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu sebagai berikut:

·       Volume (isi) Balok : V = p x l x t atau V = panjang x lebar x tinggi

·       Luas permukaan Balok : Lp = (2 x p x t) + (2 x p x l) + (2 x l x t)

·       Keliling Balok = 4 x (p + l + t)

·       Diagonal Ruang = √(p² + l² + t²)

Prisma Segitiga

Jenis geometri bidang ruang selanjutnya ialah prisma segitiga. Prisma segitiga merupakan bangun ruang yang memiliki atas (tutup) dan alas berbentuk segitiga. Rumus geometri bidang ruang ini berbeda dengan rumus bangun ruang lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar prisma segitiga di bawah ini:

 

Prisma segitiga memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu sebagai berikut:

·       Volume (isi) Prisma : V = Luas alas segitiga x tinggi atau V = ½ x p x l x t 

·       Luas permukaan Prisma : Lp = keliling alas segitiga x tinggi + (2 x luas alas segitiga)

 

Limas Segiempat

Jenis geometri bidang ruang selanjutnya ialah limas segiempat. Limas segiempat merupakan bangun ruang yang memiliki alas berbentuk segiempat. Rumus geometri bidang ruang ini berbeda dengan rumus bangun ruang lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar limas segiempat di bawah ini:

 

limas segiempat memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu sebagai berikut:

·                 Volume (isi) Limas : V = 1/3 x luas alas x tinggi atau V = 1/3 x p x l x t

·                 Luas permukaan Limas : Lp = luas alas + luas selubung limas

Limas Segitiga

Jenis geometri bidang ruang selanjutnya ialah limas segiempat. Limas segiempat merupakan bangun ruang yang memiliki alas berbentuk segitiga. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar limas segitiga di bawah ini:

 

limas segitiga memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu sebagai berikut:

·                 Volume (isi) Limas : V = 1/3 x luas alas x tinggi atau V = 1/3 x (1/2 x a x b) x t

·                 Luas permukaan Limas : Lp = luas alas + luas selubung limas

Tabung

Jenis geometri bidang ruang selanjutnya ialah Tabung. Tabung merupakan bangun ruang yang memiliki atas (tutup) dan alas berbentuk lingkaran. Rumus geometri bidang ruang ini berbeda dengan rumus bangun ruang lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar tabung di bawah ini:

 

 tabung memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu sebagai berikut:

·                 Volume (isi) Tabung : V = π x r² x t atau V = Luas alas x tinggi

·                 Luas permukaan Tabung : Lp = (2 x π x r x r) + (π x d x t) atau V = (2 x luas alas) + (keliling alas x tinggi)

Kerucut

Jenis geometri bidang ruang selanjutnya ialah Kerucut. Kerucut merupakan bangun ruang yang memiliki alas berbentuk lingkaran. Rumus geometri bidang ruang ini berbeda dengan rumus bangun ruang lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar kerucut di bawah ini:

 

Geometri bidang ruang berbentuk kerucut memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu sebagai berikut:

·                 Volume (isi) Kerucut : V = 1/3 x π x r² x t

·                 Luas permukaan Kerucut : Lp = (π x r²) + (π x r x s)

Bola

Jenis geometri bidang ruang selanjutnya ialah Bola. Bola merupakan bangun ruang yang memiliki rusuk berbentuk lengkungan. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar bola di bawah ini:

 

 bola memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu sebagai berikut:

·                 Volume (isi) Bola : V = 4/3 x π x r³

·                 Luas permukaan Bola : Lp = 4 x π x r²

 

MATERI KELAS 12_( UKURAN PEMUSATAN DATA )

 UKURAN PEMUSATAN DATA

1. Mean (Rata-rata)

Mean adalah salah satu ukuran gejala pusat. Mean dapat dikatakan sebagai wakil kumpulan data. Menentukan mean dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan seluruh nilai data, kemudian membaginya dengan banyaknya data.

Jumlah seluruh data: banyak data

atau, dapat dirumuskan dengan:
𝑥̅ = ∑ x / n

Keterangan:
𝑥̅ = rerata atau mean
n = banyaknya data
∑ x = jumlah seluruh data


Contoh:

Hitung rerata atau mean dari data berikut: 6, 5, 9, 7, 8, 8, 7, 6.

Penyelesaian:
𝑥̅ = 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 : 8
= 56 : 8
= 7, maka mean dari bilangan tersebut adalah 7.

2. Median (Kuartil)
Median (Me) atau kuartil adalah nilai tengah dari sekumpulan data setelah diurutkan dari data yang terkecil sampai data terbesar, maupun sebaliknya. Apabila suatu data mempunyai median, maka mediannya tunggal.

Jika banyak data merupakan bilangan ganjil, maka median terletak pada data ke ½ (n + 1), dan jika banyak data bilangan genap maka median terletak - n/2 dan data - n/2 + 1.


Contoh 1
Tentukan median dari data berikut: 70, 65, 50, 40, 35, 45, 70, 80, 90. Diketahui bahwa banyak data yang tersedia merupakan bilangan ganjil.

Setelah diurutkan datanya menjadi: 35, 40 , 45, 50, 65, 70, 70, 80, 90
Jadi mediannya adalah = 65.


Contoh 2
Tentukan median dari data berikut: 3, 2, 5, 2, 4, 6, 6, 7, 9, 6.

Pada contoh ini banyak data yang tersedia merupakan bilangan genap, median akan terletak di antara dua buah data.

Setelah diurutkan: 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 9.
Me = (5 + 6): 2= 5,5.

Maka, median yang terletak dari data tersebut adalah 5,5.


3. Modus
Modus adalah data yang paling sering muncul. Modus merupakan ukuran pemusatan untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi. Sekumpulan data yang diperoleh, memungkinkan untuk memiliki nilai modus yang tidak tunggal atau mungkin juga tidak memilikinya.

Contoh:
Tentukan modus dari data berikut: 50, 35, 70, 90, 70, 40, 40, 40, 65, 45, 70, 80,

Penyelesaian:
Urutkan data terlebih dahulu, sehingga menjadi:

35, 40, 40, 40, 45, 50, 65, 70, 70, 70, 80, 90

Kita mengetahui bahwa nilai 40 berjumlah 3, dan nilai 70 berjumlah 3, maka modus dari data tersebut adalah nilai 40, dan 70.

MATERI KELAS 11_( INDUKSI MATEMATIKA )

 

v Kompetensi Dasar  dan Indikator

 

Kompetensi dasar	Indikator
3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika.	3.1.1  Menjelaskan pengertian induksi matematika
	3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika
	3.1.3 Menerapkan prinsip induksi matematika dalam membuktikan rumus jumlahan barisan bilangan
	3.1.4 Menerapkan prinsip induksi matematika dalam membuktikan pernyataan keterbagian
	3.1.5 Menerapkan prinsip induksi matematika dalam membuktikan pernyataan ketidaksamaan
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan,mketidaksamaan, keterbagian.	4.1.1 Mengaplikasikan Metode pembuktian dalam masalah kontekstual.

 

 

 

 

 

 

v Peta Konsep

 

 

v Materi

A.      Pengertian Induksi matematika

Induksi matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli. Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku didalam matematika. Induksi matematika dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, bukan untuk menemukan formula.

B.      Prinsip Induksi Matematika

Induksi matematika memiliki beberapa prinsip, Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli.  Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini:

1.     Langkah Awal (basic Step): P(1) benar.

2.     Langkah Induksi (induction Step): jika P(k) benar,

 maka P(k+1) benar, untuk setiap k bilangan asli.

Pada proses pembuktian dengan prinsip Induksi Matematika, untuk langkah awal tidak selalu dipilih untuk n=1, n= 2, dan n= 3, tetapi dapat dipilih sembarang nilai n sedemikian hingga dapat mempermudah supaya langkah awal terpenuhi . selanjutnya, yang ditemukan pada langkah awal merupakan modal untuk langkah induksi. Artinya, jika P(1) benar, maka P(2) benar, jika P(2) benar maka P(3) benar begitu seterusnya hingga disimpilkan P(k) benar. Dengan menggunakan P(k) benar maka akan ditunjukkan P(k+1) benar. Jika P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka formula P(n) terbukti benar. Jika salah satu dari kedua prinsip tidak dipenuhi, maka formula P(n) salah.

C.       Bentuk-bentuk Penerapan Induksi Matematika

a)    Penerapan Induksi matematika pada Barisan bilangan

Misalkan ada sebuah barisan bilangan asli N=1,2,3,4,5......,n. Diketahui bahwa jumlahan dari barisan pertama sampai ke n adalah . Dari pernyataan tersbut akan dibuktikan bahwa  adalah jumlahan dari barisan bilangan asli N dari 1 sampai n.

Akan digunakan induksi matematika untuk membuktikan penyataan tersebut.

Buktikan bahwa 1+2+3+....+n= .

1.     Langkah basis P(1)

= ==  benar

2.     Langkah induksi

Anggap p(k) benar, sehingga hipotesis kita adalah

sehingga dapat menggunakan hipotesis untuk membuktikan bahwa P(k+1) benar, 

kita akan menggunakan ruas kiri dan menggunakan hipotesis induksi untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.

 =  

=

=

=

=  benar

Setelah membuktikan langkah 1 dan 2 benar dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Contoh :

Suatu penyataan menyatakan bahwa jumlahan bilangan ganjil yang berurutan . Buktikan pernyataan bahwa pernyataan tersebut benar!

1.     Langkah basis P(1)=1

  benar

2.     Langkah induktif

Anggap P(k)= benar,

Akan dibuktikan bahwa P(k+1) juga benar

 

P(k+1)=

 =

 =

 = benar

 

b)    Penerapan Induksi matematika pada Keterbagian

Sebelum kita melangkah lebih jauh tentang penerapan induksi matematika, perlu ditegaskan makna keterbagian dalam hal ini, yaitu habis dibagi bukan hanya dapat dibagi. Tentu kamu dapat membedakan antara dapat dibagi dengan habis dibagi. Misalnya, 32 habis dibagi 4, tetapi 32 tidak habis dibagi oleh 6. Pada subbab ini, kita akan mengkaji bagaimana penerapan prinsip induksi matematika pada konsep keterbagian suatu formula bilangan asli. Mari kita cermati masalah berikut ini.

Contoh 1

Dengan induksi matematika tunjukkan bahwa  habis dibagi 4, untuk n bilangan asli.

Penyelesaian:

Kita misalkan P(n)= dengan n bilangan asli

a.      Langkah basis

Untuk n(2) maka  = 25-1=24 habis dibagi 4. benar

b.     Langkah induksi

Anggap P(k)  habis dibagi 4 (hipotesis), maka akan ditunjukkan P(k+1)= juga habis dibagi 4.

 = 5.

 = (4+1).

 = , dengan   kelipatan 4 pasti habis dibagi 4 dan

  (hipotesis) habis dibagi 4

Karena P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika maka terbukti bahwa  habis dibagi 4, untuk n bilangan asli.

Contoh 2

Buktikan bahwa  habis dibagi 8 untuk setiap n bilangan asli!

Penyelesaian:

Kita misalkan P(n)= habis dibagi 8 untuk setiap n bilangan asli

a.      Langkah basis

P(2)= = = 80 habis dibagi 8. benar

b.     Langkah induksi

Anggap P(k)  habis dibagi 8 benar (hipotesis). Akan dibuktikan bahwa P(k+1)  habis dibagi 8 juga benar.

Bukti: 

  =

 =

 =

 =

 =  + , dg  adalah kelipatan 8 pasti habis dibagi 8

  habis dibagi 8 (hipotesis)

Karena P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika maka terbukti bahwa habis dibagi 8 adalah benar, untuk setiap n bilangan asli.

 

c)     Penerapan Induksi matematika pada Ketidaksamaan (ketaksamaan)

Pada subbab ini kita akan memperluas kajian penerapan prinsip induksi matematika dalam formula yang dinyatakan dengan ketidaksamaan matematik. Untuk lebih jelasnya mari kita cermati contoh berikut ini.

Contoh 1

Buktikan bahwa  untuk  dan n bilangan asli.

Penyelesaian:

Kita misalkan P(n)  untuk  dan n bilangan asli.

a.      Langkah basis

P(5)=  

= 20< 32 benar

b.     Langkah induksi

Anggap P(k)=  benar untuk  (hipotesis), akan dibuktikan bahwa P(k+1)=  juga benar.

Bukti:

     =

 <  (hipotesis)

 <

 <

 = 2.

 =

Karena P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika maka terbukti bahwa benar  untuk  dan n bilangan asli.

 

Contoh 2

Buktikan  untuk setiap  dengan n adalah bilangan asli.

Penyelesaian:

Kita misalkan P(n)=  untuk setiap  dengan n adalah bilangan asli.

a.      Langkah basis

P(3) =

=

= 16 < 18 benar

b.     Langkah induksi

Anggap P(k)=  benar untuk   (hipotesis), selanjutnya akan dibuktikan bahwa P(k+1)=  juga benar.

Bukti:

  =

<

<

= 2 (

= 2 benar

Karena P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika maka terbukti bahwa untuk setiap  dengan n adalah bilangan asli.

d)    Aplikasi induksi matematika dalam masalah kontekstual

Induksi matematika adalah metode pembuktian suatu pernyataan, kita akan gunakan metode ini untuk membuktikan suatu pernyataan yang ada dalam kehidupan nyata.

Misalkan ada suatau acara yang dihadiri oleh beberapa orang, pada acara tersebut setiap orang yang hadir saling berjabatangan, banyaknya jabatangan tersebut dapat dinyatakan dengan jumlahan barisan seperti berikut:

P(n)= 1+2+3+....+(n-3)+(n-2)+(n-1) = , untuk n adalah banyaknnya orang dan n  (jabatanagn minimal dilakukan oleh dua orang. Buktikan bahwa pernyataan tentang banyaknya jumlah jabatangan tersebut adalah benar.

1+2+3+....+(n-3)+(n-2)+(n-1) = ,

Bukti:

a.      Langkah basis

P(2) = == 1 benar

b.     Langkah induksi

P(n=k) Anggap P(k) benar, sehingga hipotesis kita adalah  sehingga dapat menggunakan hipotesis untuk membuktikan bahwa P(k+1) benar,   =

Kita akan menggunakan ruas kiri dan menggunakan hipotesis induksi untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.

=  

 

 

 

 

  benar

 

Setelah membuktikan langkah 1 dan 2 benar dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap n .

 

 

 

 

 

 

 

 

v Uji Kompetensi

 

1.     Tunjukkan bahwa ,

2.     Buktikan bahwa  ,  dan

3.     Tunjukkan bahwa  habis dibagi 5,  dan

4.     Buktikan bahwa  dan

5.     Tunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari ,

 

 

Selamat Mengerjakan

 

v Rangkuman

 

Induksi matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan bulat(asli).

Induksi matematika memiliki beberapa prinsip, Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli.  Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini:

1.     Langkah Awal (basic Step): P(1) benar.

2.     Langkah Induksi (induction Step): jika P(k) benar, maka P(k+1) benar, untuk setiap k bilangan asli.

Pembutkian Induksi matematika dapat diterapkan dalam jumlahan barisan bilangan, keterbagian dan ketidaksamaan.