BARISAN DAN
DERET
- BARISAN
DAN DERET ARITMATIKA
I.
TUJUAN
Setelah mempelajari topik siswa
dapat:
1. Menentukan
suku ke n suatu barisan aritmatika
2. Menetukan
rumus suku ke n dari barisan aritmatika
3. Menetukan
suku pertama dan beda suatu barisan aritmatika jika dua suku lain diketahui.
4. Menentukan
rata-rata dari deret aritmatika (mean aritmatik).
5. Menentukan
jumlah deret aritmatika jika diketahui suku pertama dan suku terakhirnya.
6. Menentukan
banyaknya suku (n) dari deret aritmatika jika suku pertama, beda dan jumlah
deretnya diketahui.
II.
MATERI
1. Barisan
Aritmatika
Perhatikan barisan berikut.
1. 1,3,5,7,…
2. 2,6,10,40,30,…
3. 60,50,40,30,…
Barisan ini adalah contoh dari
barisan aritmatika U, U, U, …..U ialah barisan
aritmatika,jika:
U - U = U-U=…….= U- U= konstan
Konstan ini disebut beda dan
dinyatakan dengan b.
Untuk 1, 3, 5, 7 bedanya ialah 3
– 1 = 4 – 3 =7 – 5 =….=
Untuk 60, 50, 40, 20,….bedanya
ialah 50 - 60 = 40 – 50 = 30 – 40 = -10
a. Rumus
suku ke n.
Jika suku pertama dinamakan a, kita
mendapatkan:
U - U = b U = U - b = a + b
U - U = b U = U - b = (a + b) + b = a
+ 2b
- U = b = U + b = (a + 2b) + b = a
+ 3b
dan seterusnya.
Ini memberikan barisan Aritmatika
A, a + b, a + 2b, a + 3b, … , a +
(n – 1) b
Rumus suku ke n adalah = a + (n – 1) b.
Contoh 1
Carilah suku ke 40 dari barisan
aritmatika 1, 6, 11, 16, …
Penyelesaian:
A = 1, b = 6 – 1, n = 40
= a + (n – 1) b
= 1 (40 – 1) 5 = 196.
Contoh 2
Carilah suku pertama dan bedanya,
jika diketahui suku kesepuluh 41 dan suku ketiga ialah 20.
Penyelesaian:
= a + ( 10 – 1) b = a ( 3 – 1) b
= a + 9b = a + 2b
a = 9b = 41…….(1) a + 2b = 20
…….(2)
Sistem persamaannya:
a
+ 9b = 41
a
+ 2b = 20
7b = 21
b
= 3
b = 3 substitusi ke persamaan
(1), didapat:
a + 9.(3) = 41
a = 14
adi suku pertama (a) = 14 dan
beda (b) = 3.
Contoh 3
Carilah rumus suku ke n dari
barisan:
2, 4, 6, 8,
………..
Penyelesaian:
Suku pertama (a) 2 dan beda (b) =
4 – 2 = 2
Suku ke n: U = a + ( n – 1 ) b
U = 2 + ( n – 1 ) 2
U = 2 + 2n - 2
U = 2n
b. Rata-rata
dari suatu barisan Aritmatika ( Mean Aritmatika ).
Kadang-kadang kita harus mencari
mean aritmatika dua buah bilangan, P dan Q. Ini berarti kita harus menyisipkan
sebuah bilangan A diantara P dan Q, sedemikian rupa sehingga p + A + Q
membentuk sebuah deret aritmetika A – P = b dan Q – A = b.
Jadi A – P
= Q - A
2A
= P + Q
A =
Ternyata mean aritmetik dua
bilangan tidal lain dari pada nilai tengahnya.
Contoh 1
Hitunglah mean aritmetika dari 23
dan 58!
Jawab:
Mean aritmetika = = 40,5
Jika kita diminta untuk
menyisipkan 3 buah mean aritmetik diantara dua buah bilangan yang diketahui, P
dan Q berarti kita harus menyisipkan 3 buah bilangan A, B, dan C diantara Pdan
Q sedemikian hingga P + A + B + C + Q merupakan deret aritmetik.
Contoh 2
Sisipkan tiga buah mean aritmetik
diantara dua buah bilangan 8 dan 18.
Jawab:
8 + A + B + C + 18
U = 8 dan U= a + 4b = 18
a = 8
4b = 10
b
= 2.5
a + 4b = 18
A = a + b =8 + 2.5 = 10.5
B = a + 2b = 8 + 2(,.5) = 13
C = a + 3b = 8 + 3(2,5) = 15,5
Jadi mean aritmetik yang dicari
adalah 10,5 ; 13 dan 15,5.
2. DERET
ARITMETIK
Deret aritmetik disebut juga
deret hitung. Jumlah n suku pertama deret aritmetik ditulis
A + (a + b) + (a + 2b) + … + [a +
(n – 1)b]
Dengan cara:
Misalkan suku terakhir U, maka suku sebelumnya ialah U - b, sebelumnya lagi U - 2b dan seterusnya.
Jadi S = a + (a + b) + (a +
2b) +…+ (U + 2b) + (U -b) + U
S = U + (U - b) +( U + 2b) +…+ (a + 2b) +
(a + b) + a
2 S = (a + U) + (a + U) + (a + U) + … + (a + U) + (a +U)
+ (a + U)
2 S = n (a + U)
S = , yaitu n x (rata-rata dari suku pertama dan terakhir)
Atau S = n{a + (a + (n – 1) b]},karena U = a +(n + 1)b
= n
Contoh 1
Carilah jumlah 50 suku yang pertama dari deret aritmetika
2 + 3 + 4 + …
Jawab:
a = 2 , b = 3 – 2 = 1 dan n = 50
S= .50 (2.2 + (50- 1). 1)
= 25(4 + 49)
= 25(53)
=1325
Contoh 2
Carilah jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis
dibagi 2.
Jawab:
Penyelesaian: a = 2, b = 2 dan U= 98
Kita harus mencari dulu n.
U= a + (n – 1) b
98 = 2 + (n – 1) 2
98 = 2 + 2n – 2
2n = 98
n = 49
S=
= .49 (2 + 98)
= 2450
LATIHAN
- Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan
aritmetika:
- 2, 4, 6, 8, ……………….. ; suku ke 100
- 3, 5, 7, ………………….. ; suku ke 20
- -5, -1, 3, 7, ……………... ; suku ke 12
- 2, 7, 12, 17, …………….. ; suku ke 15
- 18, 14, 10, 6, …………… ; suku ke 24
- 1, 4, 7, 10, ……………… ; suku ke 50
- Tentukan rumus suku ke n dari setiap barisan
aritmetika:
- 5, 8, 11, 14, ……….
- 10, 9, 8, 7, ………...
- 40, 30, 20, ………...
- 1, 8, 15, 22, ……….
- Tentukan suku pertama danbeda dari setiap barisan
aritmetika, jika diketahui:
- = 33 dan U10 = 45
- = 15 dan U8 = 25
- = 18 dan U3 = 12
- = 9 dan U15 = 31
- Tentukan jumlah deret aritmetika berikut:
- 80 + 70 + 60 + …… sampai 12 suku
- 2 + 3 + 4 + ……….. sampai 40 suku
- Tentukan jumlah semua bilangan asli yang terdiri
dari dua angka yang habis dibagi 3.
- Tentukan n jika:
- 1 + 2 + 3 + ……….. + n = 120
- 5 + 7 + 9 + ……….. + n = 192
- Tentukan 5 buah mean aritmetika diantara 12 dan
21,6.
- BARISAN DAN DERET GEOMETRI
I.
TUJUAN
Setelah
mempelajari topik siswa dapat:
- Menentukan suku ke n suatu barisan geometri dengan
rumus.
- Menentukan rumus suku ke n dari barisan geometri
- Menentukan rasio jika dua suku dari barisan
geometri diketahui
- Menentukan rata-rata dari deret geometri (mean
geometric)
- Menentukan jumlah n suku yang pertama suatu deret
geometri.
- Menentukan banyaknya suku dari deret geometri,
jika suku pertama, rasio dan jumlah derenya diketahui.
- Menentukan jumlah deret geometri tak hingga.
- Barisan Geometri
Perhatikan
barisan: a. 1, 2, 4, 6, …….
b. 27, -9, 3, -1, …..
c. -1, 1, -1, 1, ……
adalah contoh-contoh barisan geometri.
U, U, U, …..Uialah suatu barisan geometri, jika
= = …….. =
Konstanta ini dinamakan rasio, atau nisbah dan dinyatakan dengan r.
Untuk 1, 2, 4, 8, …….. ,
rasionya = = ……… = 2
27, -9, 3, -1, …
, rasionya = ………. =
a. Rumus suku ke n.
Jika suku pertama U dinyatakan dengan a,
kita mendapatkan:
= r U= Ur = ar
= r U= Ur = (ar)r =
= r = Ur = ()r =
Ini memberi barisan geometri
a, ar, , , ….
Perhatikan bahwa suku ke n adalah U =
Contoh 1
Tentukan suku ke 5 dari barisan geometri: 1, 2, 4, ………
Penyelesaian:
a = 1, r = = 2.
U =
= = 1. = = 16
Contoh 2
Tentukan rumus suku ke n dari barisan geometri 2,6, 18, …….
Penyelesaian:
a = 2, r = = 3
U = = 2.
Contoh 3
Tentukan rasio r, jika diketahui suku-suku barisan geometri:
U = 3 dan = 24.
Penyelesaian:
U a = 3
= = 24
= 24
= 8
r = 2
- Rata-rata dari suatu deret geometri (mean
geometri).
Mean geometric
dari dua buah bilangan P dan Q adalah sebuah bilangan A sedemikian hingga P + A
+ Q membentuk suatu deret geometri.
= r dan = r = =PQ
A=
Adi mean geometri dua buah bilangan adalah akar dari hasil dari
kalinya.
Contoh 1
Tentukan mean
geometric dua bilangan 4 dan 25
Penyelesaian:
A = = 10.
Untuk
menyisipkan tiga mean geometric diantara dua bilangan geometri P dan Q, kita
harus mencari tiga bilangan A, B, dan C sedemikian sehingga P + A + B + C + Q
membentuk suatu deret geometri.
Contoh 2
Sisipkan 4
buah mean geometric diantara 5 dan 1215.
Tentukan
keempat mean geometric tersebut.
Penyelesaian:
Misalkan
keempat mean tersebut masing-masing A,
B, C, dan D. Maka 5, A, B, C, D, 1215 membentuk suatu deret geometric, yaitu: a
= 5 dan = 1215
= = 243
r = = 3
A = ar = 5.3 =
15
B = = 5.32 = 45
C = = 5.33 = 135
D = = 5.34 = 405
Adi mean
geometric yang dicari adalah 15, 45, 135, 405.
- Deret Geometri
Kita dapat
mencari rumus untuk jumlah deret geometri
a + ar + + … + sebagai berikut:
= a + ar + + …. +
r= ar + + … + +
- r = a +
0 + 0 + ….
+ 0 -
(1 – r) = a - = a(1 - )
= , r 1
atau = , berlaku jika n 1
Contoh 1
Carilah jumlah
dari tujuh suku dari deret geometri 4 + 2 + 1 + 0,5 + …
Penyelesaian:
A = 4, r = = dan n = 7
=
=
= 7,94, dua tempat decimal
Contoh 2
Carilah n jika
2 + + + … = 510
Penyelesaian:
a = 2, r = 2 dan = 510
=
510 =
= 255
= 256
n = 8
- Deret Geometri Tak Terhingga
Deret geometri
tak terhingga merupakan deret geometri yang banyak suku tak terhingga (“~ “)
atau n = ~
Macam deret
tak terhingga.
a.
Deret geometri tak terhingga yang konvergen.
Deret
geometri tak terhingga yang konvergen adalah suatu deret dengan 1 atau -1.
Jumlah deret
geometri tak terhingga yang konvergen dirumuskan dengan pendekatan:
S =
b.
Deret geometri tak terhingga yang divergen (menyebar)
Deret
geometri tak terhingga yang divergen adalah deret dengan atau r1 atau r– 1 .
Jumlah deret
geometri tak terhingga yang divergen, tidak didefinisikan.
Contoh 1
Tentukan jumlah deret geometri tak terhingga: 2 + 1 + + + …
Penyelesaian:
a = 2 , r = < 1 (konvergen)
S =
= = = 4
Contoh 2
Tentukan
jumlah deret geometri tak terhingga: 1 - + - + …..
Penyelesaian:
a = 1, r = - 1 (konvergen)
S =
= = =
Contoh 3
Selidiki ada
atau tidak jumlah deret tak terhingga yang dinyatakan dengan:
a.1 + 2 + 4 + 8 + …..
b. 2 – 6 + 8 – 54 + …..
Penyelesaian:
a.
a = 1, r = 2
Karena r maka ini adalah deret
geometri tak terhingga yang divergen.
Jadi S tidak
didefinisikan.
b.
a = 2, r = -3
Karena r , ini adalah deret geometri tak terhingga yang divergen.
Jadi S tidak
didefinisikan.
LATIHAN
- Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri:
- 1, 3, 9, 27, …….. ;
- 1, 2, 4, ……….... ;
- 1, -2, 4, .……….
;
- 12, 6, 3, ………... ;
- Tentukan rumus suku ke n dari barisan geometri:
- 1, 2, 4, …………………
- 3, 6, 12, ………………..
- 4, 2, 1, …………………
- 1, -2, 4, ………………..
- Tentukan rasio r dari barisan dengan:
a. = 6, = 24
b. = 36, = -12
- Tentukan dua mean geometric diantara 5 dan 8,64.
- Tentukan jumlah setiap deret geometri
- 1 + 2 + 4 + ……… sampai 8 suku
- 1 + + + ……..sampai 6
suku
- Tentukan n jika:
3 + + + …. + = 120
7. Tentukan
jumlah deret geometri tak terhingga:
+ + + ………
8. Suku ke n suatu deret geometri
ialah
Carilah suku pertama, ke dua, rasio dan jumlah sampai tak terhingga.
C. APLIKASI BARISAN
DAN DERET
Contoh
- Untuk
membuat ulir disediakan roda gigi pengganti yang banyaknya gigi
masing-masing membentuk barisan aritmetika: 20, 25, 30, …, 120.
Tentukan banyaknya roda gigi yang
disediakan.
Penyelesaian:
A = 20, b = 25 – 20 = 5
= 120
= a + (n – 1)b
120 = 20 + (n – 1)(5)
120 = 20 + 5n – 5
= 105
n = 21
jadi roda gigi yang disediakan
sebanyak 21 buah
- Perencanaan
mesin perkakas memerlukan empat buah roda gigi A, B, C dan D yang satu
sama lainnya merupakan penggerak dan yang digerakkan. Urutan diameternya
merupakan barisan geometri yaitu: 60, 30, 15, (7,5), ……
Tentukan berapa put/menit roda
gigi D apabila diketahui putaran roda gigi A = 30 put/menit, B = 60 put/menit.
Penyelesaian:
Barisan
geometri 30, 60, ……
A = 30, r = = 2
=
= 30(2
=
30(2)
=
30(8) = 240 put/menit
LATIHAN
- Perencanaan
sebuah mesin perkakas memerlukan 7 buah roda gigi yang satu sama lainnya
merupakan penggerak dan yang digerakkan. Diameternya merupakan barisan
geometri , , , …….. Jika putaran roda gigi = 30 put/menit
dan = 101,25
put/menit, tentukan putaran roda gigi ke 5 ().
- Suatu tiang akan dipancangkan ke dalam tanah. Biaya
pemancangan untuk kedalaman 1 meter pertama Rp. 800.000,00, satu meter
kedua Rp. 1.000.000,00 demikian seterusnya . Jika pertambahannya tetap
menurut barisan aritmatika, maka tentukan biaya yang harus dikeluarkan
untuk memancangkan tiang sedalam 7 meter.
- Pada
penentuan tegangan sabuk di dapat persamaan T = To.k dengan To dan k
konstan serta besar sudut dalam
radian. Buktikan bahwa jika meningkat secara
barisan aritmetika maka T akan meningkat secara barisan geometri.
- Suatu
industri merencanakan membuat 9000 buah roda gigi dan harus selesai dalam
waktu 1 tahun. Jika bulan meningkat secara deret aritmetika dan pada bulan
pertama dapat memproduksi 200 buah, maka berapa hasil produksi dalam bulan
ke 3 dan ke 12.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar