MATRIKS
A.
PENGERTIAN
MATRIKS
- Definisi Matriks
Matriks adalah kumpulan
bilangan-bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris dan kolom
sehingga membentuk persegi panjang dan bujur sangkar dimana panjang dan
lebarnya ditunjukkan oleh kolom dan baris yang ditulis diantara dua tanda
kurung, yaitu ( ) dan [ ].
- Simbol Matriks
Pada umumnya simbol matriks berbentuk |
|, [ ], ( ). Secara umum sebuah matriks dapat ditulis :
Amxn
=
Matriks juga
dapat dinyatakan sebagai: Amxn = [aij]mxn
Dimana: aij = elemen atau unsur
matriks
i = 1,2,3,...m, indeks baris
j = 1,2,3,...n, indeks kolom
- Bentuk-Bentuk Matriks
1. Ordo
2 x 1 mengandung pengertian 2 baris dan 1 kolom.
Misalnya:
2. Ordo
2 x 2 mengandung pengertian 2 baris dan 2 kolom.
Misalnya:
3. Ordo
3 x 3 mengandung pengertian 3 baris dan 3 kolom.
Misalnya:
B.
JENIS-JENIS
MATRIKS
Jenis matriks dapat dibedakan
berdasarkan susunan elemen matriks dan berdasarkan sifat operasi dari
matriksnya.
a.
Berdasarkan Susuna
Elemen Matriks
Berdasarkan
susunan elemen matriks, ada beberapa jenis matriks yaitu:
1. Matriks
kuadrat/bujur sangkar (square matrix)
adalah matriks dimana jumlah baris (m) sama dengan jumlah kolom (n) atau m = n.
Contoh: A
= , B =
2. Matriks
nol (null matrix) adalah matriks
dimana semua elemenya mempunyai nilai nol (0).
Contoh: A
= , B =
3. Matriks
diagonal (diagonal matrix) adalah
matriks dimana semua elemen diluar
diagonal utamanya adalah nol (0) dan minimal ada satu elemen pada diagonal
utamanya bukan nol.
Contoh: A
= , B =
4. Matriks
kesatuan/identitas (unit matrix, identity
matriix) adalah matriks dimana semua elemen pada diagonal utamanya bernilai
satu dan elemen diluar diagonal utama bernilai nol.
Contoh:
A = , B =
5. Matriks
skalar (scalar matrix) adalah matriks
diagonal dimana elemen pada diagonal utamanya bernilai sama tetapi bukan satu
atau nol.
Contoh: A
= , B =
6. Matriks
tridiaonal (tridiagonal matrix)
adalah matriks diagonal dimana elemen sebelah kiri dan kanan diagonal utamanya
bernilai tidak sama dengan nol (0).
Contoh: A
=
7. Matriks
segitiga bawah (lower triangular matrix, L)
adalah matriks diagonal mana elemen disebelah kiri (bawah) diagonal utama ada
yang bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh: L
= , L =
8. Matriks
segitiga atas (upper triangular matrix,
U) adalah matriks diagonal dimana elemen sebelah kanan (atas) diagonal utama
ada yang bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh: U
= , U =
9. Matriks
simetris (symmertic matrix) adalah
matriks bujur sangkar dimana elemen ke aij
sama dengan ke aij atau
(aij= aij) untuk semua i dan j.
Contoh: U
= , berlaku sifat AT
= A
10. Matriks
miring (skew matrix) adalah matriks bujur
sangkar dimana elemen ke aij
sama dengan –aji atau (aij = -aji) untuk semua i dan j tetapi elemen diagonal utama tidak
semuanya bernilai nol.
Contoh: M
= , berlaku sifat MT
= -M
11. Matriks
miring simetris (skew-symmetric matrix)
adalah matriks bujur sangkar dimana elemen ke aij sama dengan –aij atau (aij = -aji) untuk semua i dan
dan semua elemen diagonal utama bernilai nol.
Contoh: M
= , berlaku sifat MT
= -M
b.
Berdasarkan Sifat
Operasi Matriks
Berdasarkan
sifat operasi matriks, ada beberapa jenis matriks yaitu:
1. Matriks
singular (singular matrix) adalah
matriks yang determinannya bernilai nol.
Contoh: A
= , B =
2. Matriks
non singular (non singular matrix)
adalah matriks yang determinannya bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh: A
= , B =
3. Matriks
hermit (hermit matrix) adalah matriks
bujur sangkar yang transpose conjugate-nya sama dengan matriks itu sendiri atau
= M dimana = conjugate kompleks matriks M.
Contoh:
M = , =
= = M
4. Matriks
hermit miring (skew hermit matrix)
adalah matriks bujur sangkar yang transpose conjugate-nya sama dengan negatif
matriks itu sendiri atau = -M.
Contoh: M = , =
= = -M
5. Matriks
uniter (uniter matrix) adalah matriks
bujur sangkar yang transposenya sama dengan invers conjugate-nya atau MT
= atau = = I.
Contoh: M
= , = dan MT= = = =
6. Matriks
ortogonal (orthogonal matrix) adalah
matriks bujur sangkar yang transposenya sama dengan inversnya atau MT
= M-1 atau MTM=I.
Contoh: M
= , dan MT
=
MTM
=== I
7. Matriks
normal (normal matrix) adalah matriks
bujur sangkar yang mempunyai sifat: M=.
Contoh: M
= , dan =
=
M=M ↔
==
=
2 = 2
8. Matriks
involunter (involunter matriks)
adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan
menghasilakan matriks identitas atau M2
= I.
Contoh: M
=
M2= M.M = = = I
9. Matriks
idempotent (idempotent matrix) adalah
matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan
matriks asal M2= M.
Contoh: M =
M2= = = M
10. Matriks
nilpotent (nilpotent matrix) adalah
matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan
matriks nol atau MP = 0,
untuk p = bilangan bulat positif >
2.
Contoh: M =
=
=
11. Matriks
elementer (elementary matrix) adalah
matriks hasil transformasi elementer terhadap matriks kesatuan (I).
Contoh: I =
Transformasi elementer I12,I3(k),dan
I23(k):
I12 =
I3(k)
=
I23(k) =
Keterangan:
I12=b12
(baris 1 ditukar dengan baris 2)
I3(k)=b3(k)=k
xb3 (baris 3 dikali dengan
k)
I23(k)=b2+k
x b3 (baris 2 + baris 3
dikali k)
C.
ALJABAR
MATRIKS
a. Penjumlahan
dan Pengurangan Matriks
Penjumlahan dan pengurangan matriks
harus memperhatikan hal-hal berikut:
·
Matriks dapat
dijumlahkan atau dikurangkan jika mempunyai ukuran atau dimensi yang sama.
·
Matriks yang ukurannya
berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
·
Matriks hasil
penjumlahan atau pengurangan mempunyai
ukuran yang sama dengan matriks asal.
·
Penjumlahan matriks
adalah menambahkan elemen pada posisi yang sama pada matriks.
·
Pengurangan (selisih)
matriks adalah mengurangi elemen pada posisi yang sama pada matriks.
Jumlah
dua matriks A = (aij) dan B = (bij) yang
berukuran m x n:
A
+ B = (aij + bij)mxn untuk i
= 1,2, ..., m;
j= 1,2,
..., n;
selisih
dua matriks A = (aij) dan B = (bij) yang
berukuran m x n:
A
- B = (aij - bij)mxn untuk i
= 1,2, ..., m;
j= 1,2,
..., n;
Sifat
penjumlahan dan pengurangan matriks:
·
A + B = B + A Sifat komutatif
·
A + B + C = C + B + A
·
( A + B ) + C = A + ( B
+ C ) Sifat Asosiatif
·
A + 0 = A
·
A – 0 = A
Contoh:
Tentukan
penjumlahandan selisih dari matriks-matriks berikut:
A = , B =
Penyelesaian:
A + B = =
A - B = =
b. Perkalian
Matriks
1. Perkalian
Skalar dengan Matriks
Jika k adalah bilangan real (skalar), maka
perkalian skalar dengan matriks A=[aij]mxn :
kA = = (kaij)mxn
atau
Ak = = (aijk)mxn
Sifat perkalian skalar dengan matriks:
Jika A,B,C adalah matriks mxn, k1
dan k2 adalah skalar maka:
·
k1 = Ak1
·
(k1k2)A = k1(k2A)
·
1A = A
·
(-1) A= -A
·
K1(A+B)
= k1A + k1B
·
(k1+k2)A = k1A + k2A
Contoh:
1. Jika
A = dan k = 2 tentukan kA
dan Ak
Penyelesaian:
kA = 2 =
Ak
= 2=
2. Jika
diketahui matriks A dan B berikut,
A = , B =
Tentukan
2A dan 2A-B
Penyelesaian:
2A = 2 =
2A-B = 2 -=
2. Perkalian Matriks dengan Matriks
Jika
A matriks ukuran m x p dan B matriks ukuran p x n, maka perkalian
matriks A dan B :
AB =
atau
AB =
untuk
semua i = 1,2,..., m ; j = 1,2,...,p.
Perkalian
matriks yaitu mengalikan elemen baris ke-i matriks A dengan elemen kolom ke-j matriks B dan menjumlahkannya. Dimensi hasil perkalian matriks:
Am x p x
Bp x n = ABm x n
sifat
perkalian matriks dengan matriks:
·
A(BC)
= A (BC) Asosiatif
·
A(B+C)
= AB + AC Distributif
kiri
·
(B
+ C ) A = BA + C Distributif kanan
·
r(AB)
= (rA)B r
= skalar
·
ImA
= A = AIn Asosiatif
Contoh:
1. Jika
diketahui A = dan B = tentukan AB
Penyelesaian:
AB = x
=
=
c. Perpangkatan
Matriks
Jika n adalah sebuah bilangan bulat
positif dan A suatu matriks persegi, maka An = A x A x A x A ... x A
(sebanyak n faktor) atau dapat juga dituliskan An = A x An-1 atau
An = An-1 x A.
Contoh:
Diketahui
matriks A = , tentukan:
a. A2
b. A3 c. 2A4
Penyelesaian:
a. A2
= =
b. A3
= =
c. 2A4
= 2A x A3 = 2
= 2=
d. Transpose
matriks
Transpose dari matriks A berordo m x n
adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris
menjadi elemen kolom atau sebaliknya, sehingga beordo n x m. Notasi transpose Am
x n adalah .
Contoh:
Tentukan
transpose dari matriks berikut:
A = , B =
Penyelesaian:
Transpose dari
matriks tersebut adalah sebagai berikut:
AT = BT
=
e. Determinan
Matriks
1. Determinan
matriks ordo 2 x 2
Misalkan A = adalah matriks yang
berordo 2 x 2 dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama, sedangkan b
dan c terletak pada diagonal utama kedua. Determinan matriks A dinotasikan “det
A” atau adalah suatu bilangan
yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama
pertama dengan hasil kali pada diagonal utama kedua.
Dengan demikian dapat diperoleh rumus
det A sebagai berikut:
det A = = ad –bc
Contoh:
Tentukanlah determinan metriks matriks
berikut:
A = b.
Penyelesaian:
a. det A = = (5) (3) - (2) (4) = 7
b. det
B = = (-4) (2) – (-1) (3) = -5
2. determinan
matriks ordo 3 x 3
jika A = adalah matriks persegi
berordo 3 x 3, determinan A dinyatakan dengan det A = .
Ada
dua cara yang dapat digunakan untuk menentukan matriks berordo 3 x 3, yaitu
aturan sarrus dan metode minor-kofaktor.
Ø
aturan
sarrus
Untuk
menentukan determinan dengan aturan sarrus, perhatikan alur berikut. Misalnya
kita akan menghitung determinan matriks A3x3, gambaran
perhitungannya adalah sebagai berikut:
=
Ø
metode
minor-kofaktor
Misalkan
matriks A dituliskan dengan [aij]. Minor elemen aij yang
dinotasikan dengan Mij adalah determinan setelah elemen-elemen baris
ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya dari matriks A3x3 kita
hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga: A
=
Akan
diperoleh M21 = . M21 adalah minor dari elemen matriks A baris
ke-2 kolom ke-1 atau M21 = a21.
Kofaktor
elemen aij dinotasikan dengan Kij adalah hasil kali (-1)i+j
dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian kofaktor suatu matriks dirumuskan
dengan:
Kij=
(-1)i+j Mij
Dari
matriks A diatas, kita peroleh misalnya kofaktor a21 dan a13 berturut-turut
adalah :
K21=(-1)2+1M21=
-M21
K13=(-1)1+3M13=
-M13
Kofaktor dari matriks A3x3 adalah
(kof) A =
Nilai dari suatu determinan merupakan
hasil penjumlahan dari perkalian suatu elemen-elemen suatu baris (atau kolom)
dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memeilih terlebih
dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan diatas.
Perhatikan cara menentukan determinan berikut:
Misalkan diketahui matriks A =
Determinan matriks A dapat dihitung dengan
cara berikut:
Kita pilih baris pertama sehingga:
det A =
=
=
=
=
=
Tampak bahwa det A
matriks ordo 3 x 3 yang diselesaikan dengan cara minor kofaktor hasilnya sama
dengan det A dengan menggunakan cara sarrus.
Contoh:
Tentukan
determinan dari matriks A = dengan aturan sarrus dan minor kofaktor!
Penyelesaian:
Cara
1 (aturan sarrus):
det
A =
=
(1 x 1 x 2) + (2 x 4 x 3) + (3 x 2 x 1) – (3 x 1 x 3) – (1 x 4 x1) – (2 x 2 x
2)
=
2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8
=
11
Cara
2 (minor-kofaktor):
det
A = 1
= 1 (2 – 4) – 2 (4 – 12) + 3 (2 – 3)
= 1 (-2) – 2(-8) + 3(-1)
= -2 + 16 – 3
= 11
3. Sifat-Sifat
Determinan Matriks
Berikut
beberapa sifat determinan matriks:
1. jika
semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan
matriks itu nol.
Misal:
A = → , B =
2. jika
semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan baris/kolom elemen-elemen
lain maka determinan matriks itu nol.
Misal:
B = (karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 sama).
3. Jika
elemen-elemen salah satu kolom/baris merupakan kelipatan dari elemen-elemen
baris/kolom lain maka determinan matriks itu sama dengan nol.
Misal:
A = (karena elemen-elemen baris ke-3 merupakan kelipatan
elemen-elemen baris ke-1)
4.
5. , untuk AT adalah transpose dari matriks A.
6. , untuk A-1 adalah invers dari matriks A
7. untuk A ordo n x n dan k suatu konstanta.
f. Invers Matriks
Jika
A adalah matriks ukuran n x n dan jika ada matriks b ukuran n x n sedemikian
rupa sehingga:
AB = BA = I
Dimana
I adalah matriks identitas ukuran n x n, maka matriks A disebut non singular
atau invertibel dan matriks A merupakan invers dari B atau B merupakan invers
dari A.
Jika
matriks A tidak mempunyai invers, maka A disebut matriks singular atau non
invertibel.
Notasi matriks
invers dari A: A-1.
1. Menentukan
invers matriks berordo 2 x 2
Misalkan diketahui matriks A = , dengan ad-bc
tidak sama dengan nol. Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers
matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A-1 dengan
demikian berlaku AA-1=A-1A.
Matriks A mempunyai invers jika A adalah
matriks nonsingular yaitu det A ≠ 0, sebaliknya jika det A = 0 maka
matriks singular maka matriks ini tidak memiliki invers.
Jadi jika A = , maka inversnya adalah:
A-1 = untuk ad-bc ≠ 0
Contoh:
Tentukan
invers matriks matriks berikut:
a. A
=
b. B
=
Penyelesaian:
a. A-1
=
=
=
b. B-1
=
=
=
2. Menentukan
invers matriks berordo 3 x 3
Invers
matriks berordo 3 x 3 dapat dicari dengan beberapa cara. Pada pembahasan kali
ini kami akan menggunakan cara adjoin.
Invers matriks persegi berordo 3 x 3
dirumuskan sebagai berikut:
Penentuan
adj A:
Contoh:
Diketahui
matriks A = tentukan invers matriks A dengan menggunakan perhitungan
menurut baris pertama.
Penyelesaian:
Terlebih dahulu
kita hitug determinan A
= 1(9 – 8) – 2(6 – 4) + 1(4 – 3)
=1(1) – 2(2) + 1(1)
=1 – 4 + 1
= -2
Dengan
menggunakan rumus adjoin diperoleh:
Jadi A-1 dapat
dihitung sebagai berikut:
=
=
g. Penyelesaian
Persamaan Linear dengan Matriks
Matriks dapat digunakan untuk
mempermudah dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear. Pada
pembahasan kali ini, kita akan menggunakannya untuk menyelesaikan sestem
persamaan linear dua variabel dan tiga variabael.
1. Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel
Bentuk
umum sistem persamaan linear dua variabel:
ax
+ by = p .......................................................(1)
cx
+ dy = q .......................................................(2)
persamaan
(1) dan (2) deatas dapat kita susun kedalam bentuk matriks dibawah ini:
Tujuan
penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah menentukan nilaix dan
y yang memenuhi sistem persamaan itu. Oleh karena itu, berdasarnya sistem
penyelesaian matriks bentuk AX = B dapat dirumuskan sebagai berikut:
Asalkan
ad – bc
Contoh:
Tentukan
penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan matriks.
2x
+ y =
x
+ 3y = 7
penyelesaian:
dari
persamaan diatas dapat kita susun menjadi matriks sebagai berikut.
Dengan
menggunakan rumus penjelasan matriks diatas, diperoleh sebagai berikut.
=
=
Jadi,diperoleh
penyelesain x = 1 dan y = 2
2. Sistem
Persamaan Linear Tiga Variabel
Untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan
beberapa cara misalnya eliminasi, substitusi dan gabungan antara eliminasi dan
substitusi.
Misalkan
diberikan sistem persaman linear tiga variabel sebagai berikut.
Sistem
persamaan linear diatas dapat disusun menjadi matriks sebagai berikut:
Misalkan
A = , X = dan B =
Bentuk
diatas dapat kita tuliskan sebagai AX = B
Penyelesaian
sistem persamaan AX= B adalah X = A-1B. Dalam hal ini
A-1=
, oleh karena itu diperoleh:
X
= B = B
Contoh:
Tentukanlah
determinanmatriks berikut:
Penyelesaian:
B = (1x3x3) + (2x4x1) + (3 x1x4)
– (3x3x1) – (1x4x4) – (2x1x3)
D.
NILAI
EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Sebuah matriks bujur sangkar dengan
orde n x n misalkan A, dan sebuah vektor kolom X dihubungkan
dengan sebuah persamaan :
AX = λX
dimana λ adalah suatu skalar dan X
adalah vektor yang tidak nol.
Skalar λ dinamakan nilai
Eigen dari matriks A. Nilai eigen adalah nilai karakteristik dari
suatu matriks bujur sangkar. Vektor X adalah suatu vektor yang
tidak nol untuk nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan vektor eigen.
Jadi vektor X mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen tertentu.
Perhitungan
Nilai Eigen
Kita tinjau perkalian matriks A
dan X dalam persamaan sebelumnya. Apabila kedua sisi dalam
persamaan tersebut dikalikan dengan matriks identitas didapatkan :
IAX = IλX
AX = λIX
[λI - A]X = 0
Persamaan terakhir terpenuhi jika dan hanya jika
det[λI - A] = 0
Dengan menyelesaikan persamaan diatas kita bisa
mendapatkan nilai eigen λ.
Misalkan diberikan sebuah matriks
A
=
Dari persamaan det[λI - A] = 0 kita dapatkan :
det
Selanjutnya dengan menggunakan rumus abc didapatkan
nilai eigen :
Contoh:
1. tentukan
nilai eigen dari matriks berikut ini:
Penyelesaian:
Nilai eigen
ditentukan dengan persamaan:
det= 0
Jadi
penyelesaian dari persamaan ini adalah =1
dan =2
2. Tentukanlah nilai eigen dari matriks berikut ini:
Penyelesaian:
Persamaan karakteristik dari matriks A adalah:
= 0
Untuk mencari nilai yang sesuai terlebih1 dahulu hitung determinan dari (A-) dengan metode kofaktor:
det A = (
sehingga didapat ketiga nilai eigen adalah
E. PENERAPAN
MATRIKS DALAM FISIKA
a. Analisis Vektor dengan Pendekatan Matriks
Vektor
adalah istilah yang sangat akrab bagi orang – orang yang berkecimpung di bidang
fisika. Tentu saja karena vektor adalah istilah penting yang berhubungan dengan
sifat yang dimiliki oleh suatu objek. Vektor atau besaran vektor didefinisikan
sebagai besaran yang mempunyai besar atau nilai dan arah, sedangkan definisi
dari besaran adalah sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dalam satuan. Akan
sangat panjang jika kita membahas definisi besaran di sini, maka mari kita
kembali menengok pembahasan vektor kita. Catatan ini akan lebih banyak membahas
operasi matematika pada vektor, jika pembaca ingin mengetahui lebih banyak
tentang definisi vektor dan aturan penulisan vektor, pembaca dapat membaca
referensi – referensi lain yang membahas tentang vektor.
Vektor dapat
direpresentasikan ke dalam bentuk vektor satuan. Vektor satuan adalah vektor
pada arah sumbu x, y, atau z pada koordinat kartesian yang memiliki besar satu
satuan. Misalnya suatu vektor dua dimensi pada koordinat kartesian F =
16 N pada arah 60 derajat dapat direpresentasikan dalam vektor satuannya
sebagai F = (8i + 13.86j) N, dengan huruf i
menunjukkan vektor satuan dari F yang bernilai 8 N pada arah sumbu x dan
huruf j menunjukkan vektor satuan dari F yang bernilai 13.86 N
pada arah sumbu y. Untuk vektor tiga dimensi kita dapat menambahkan vektor
satuan dengan lambang k untuk merepresentasikan vektor pada arah sumbu
z. Secara umum kita dapat menuliskan suatu vektor F = Fxi + Fyj
+ Fzk, dengan Fx, Fy, dan Fz masing – masing adalah nilai komponen
vektor F pada arah sumbu x, y, dan z.
Berawal dari
penulisan besaran vektor dalam bentuk vektor satuan, kita akan menemukan bahwa
melalui suatu persamaan bentuk, maka kita dapat mengaplikasikan operasi matriks
dalam menganalisis nilai dari operasi matematika untuk satu atau lebih besaran
vektor. Ada beberapa operasi matematika pada besaran vektor, misalnya
penjumlahan, pengurangan, perkalian titik (dot product), dan perkalian silang
(cross product). Ada pula istilah operator di dalam analisis vektor,
Anda akan memahaminya lebih dalam ketika belajar tentang Kalkulus Vektor. Kali
ini kita akan membahas operasi – operasi matematika dasar pada vektor melalui
pendekatan bentuk matriks. Melalui pendekatan ini diharapkan akan mempermudah
proses analisis besaran vektor dan memberikan pemahaman yang lebih dalam
tentang besaran vektor.
b.
Operasi
Matematika pada Vektor dengan Pendekatan Matriks
Besaran
vektor dapat dijumlahkan satu sama lain, misal kita mempunyai vektor A =
5i + 5j – 5k dan vektor B = 4i-3j+2k.
Maka kita dapat mengetahui hasil penjumlahan vektor A + B = R
dengan menjumlahkan nilai masing – masing komponen vektor satuannya yang
bersesuaian. Melalui konsep tersebut kita bisa menentukan nilai R =
(5+4)i + (5+(-3))j + ((-5)+2)k, sehingga R = 9i
+ 2j – 3k. Sekarang kita menggunakan pendekatan matriks untuk
operasi penjumlahan tersebut, bayangkan kita memiliki sebuah matriks 1×3,
dengan masing – masing kolom terisi nilai vektor pada sumbu x, y, dan z.
Misalnya, F = [Fx Fy Fz], dengan Fx adalah nilai vektor F
pada sumbu x, Fy adalah nilai vektor F pada sumbu y, dan Fz adalah nilai vektor
F pada sumbu z. Kita akan mendapatkan vektor A = [5 5 -5] dan vektor B
= [4 -3 2], dari bentuk matriks tersebut kita dapat memperoleh hasil
penjumlahan kedua vektor tersebut, R, dengan cara menjumlahkan vektor
(atau sekarang bisa kita sebut matriks) A dan B melalui operasi
penjumlahan pada matriks biasa. Kita akan memperoleh R = [9 2 -3],
bandingkan dengan hasil yang kita peroleh sebelumnya, bersesuaian bukan?
Untuk
operasi pengurangan vektor, mari kita tinjau kembali konsep dari pengurangan
suatu vektor dengan vektor yang lain. Kita akan mendapatkan bahwa mengurangkan
suatu vektor dengan vektor yang lain sama dengan menjumlahkan suatu vektor
dengan lawan vektor yang lain. Dalam hal ini, yang dimaksud lawan adalah
nilai negatif dari vektor yang dimaksud, contohnya -1 adalah lawan dari 1. Dari
sini kita dapat menggunakan konsep penjumlahan vektor dengan catatan mengubah
nilai vektor pengurangnya menjadi nilai lawannya. Misalkan kita akan
mengurangkan vektor A dengan vektor B pada contoh sebelumnya.
Maka kita akan memperoleh R = A + (-B), dengan nilai -B
= [-4 3 -2], sehingga R = [1 8 -7].
Perkalian
pada vektor ada dua macam, yaitu perkalian titik atau perkalian skalar (dot
product) dan perkalian silang (cross product). Masing – masing bentuk perkalian
mempunyai sifat – sifat tersendiri, sehingga saya sarankan pembaca lebih
mendalami konsep perkalian vektor dengan membaca buku – buku referensi yang
ada.
Perkalian
titik atau perkalian skalar (dot product) merupakan perkalian antara dua buah
besaran vektor yang menghasilkan suatu nilai skalar. Aplikasi perkalian titik
contohnya pada perhitungan usaha, usaha didefinisikan sebagai jarak yang
ditempuh dikalikan besar gaya yang sejajar dengan arah perpindahan. Secara
matematis usaha didefinisikan sebagai W = F.s, di sini kita melihat
salah satu aplikasi perkalian titik pada bidang fisika.
Secara matematis,
perkalian titik dirumuskan dalam bentuk R = A.B dan R = AB cos(t),
dengan t adalah besar sudut apit terkecil di antara kedua vektor. Konsep
penting dalam perkalian titik adalah sifat perkalian titik antar vektor satuan.
Pada perkalian titik perkalian antara dua buah vektor satuan yang sama
memberikan nilai 1 dan perkalian antara dua buah vektor satuan yang berbeda
menghasilkan nilai 0, misalnya i.i = j.j = k.k = 1 dan i.j
= j.k = k.i = 0. Sehingga melalui operasi aljabar kita dapatkan
nilai A.B = (Ax.Bx)+(Ay.By)+(Az.Bz). Selain itu, pada perkalian titik
berlaku A.B = B.A. Melalui konsep tersebut, kita dapat mengaplikasikan
operasi perkalian matriks pada operasi perkalian titik dua buah vektor.
Perhatikan bahwa syarat dua buah matriks dapat dikalikan adalah ketika jumlah
kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.
Misalkan
kita akan mengalikan vektor A.B menghasilkan nilai skalar R, maka kita
harus men-transpose matriks vektor B yang memiliki ukuran 1×3
sehingga menjadi matriks berukuran 3×1. Ingat bahwa pada perkalian titik kita
melakukan transpos pada matriks tertentu sehingga menghasilkan hasil perkalian
berupa matriks berukuran 1×1.Kita kalikan
vektor A dan B-transpos untuk mendapatkan nilai R.Kita dapat
melihat bahwa dengan menggunakan perkalian matriks yang menghasilkan matriks
berukuran 1×1, kita bisa mendapatkan hasil perkalian titik antara dua vektor.
Melalui perkalian matriks kita dapat menghindari perkalian antara dua vektor
satuan yang berbeda yang menghasilkan nilai 0 (ingat bahwa meskipun kita tidak
menuliskan vektor satuan i, j, k tetapi posisi kolom atau
baris yang ditempati menunjukkan vektor satuan yang dimiliki nilai yang
bersangkutan, sehingga sifat – sifat vektor satuan juga tetap dimiliki oleh
nilai tersebut). Kita juga dapat melihat bahwa perkalian tersebut bersesuaian
dengan persamaan perkalian titik A.B = (Ax.Bx)+(Ay.By)+(Az.Bz).
Perkalian
silang (cross product) adalah perkalian antara dua buah vektor yang
menghasilkan vektor lain yang arahnya tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk
oleh kedua vektor yang dikalikan. Aplikasi perkalian silang contohnya pada
perhitungan torsi atau torka oleh suatu gaya. Torsi atau torka didefinisikan
sebagai hasil perkalian silang antara suatu gaya dengan panjang lengan yang
tegak lurus terhadap arah gaya yang bekerja. Secara matematis torsi
didefinisikan sebagai torsi = Fxd, di sini kita melihat
salah satu aplikasi perkalian silang pada bidang fisika.
Secara
matematis, perkalian silang dirumuskan dalam bentuk R = AxB
dan R = AB sin(t), dengan t adalah besar sudut apit terkecil di antara kedua
vektor. Konsep penting dalam perkalian silang adalah sifat perkalian titik
antar vektor satuan. Pada perkalian titik perkalian antara dua buah vektor
satuan yang sama memberikan nilai 0, misalnya ixi = jxj
= kxk = 0. Sedangkan untuk vektor satuan lainnya berlaku sifat ixj
=k, jxk = i, kxi = j, dan jxi
= -k, ixk = -j, kxj = -i.
Sehingga melalui operasi aljabar kita bisa mendapatkan nilai AxB
= (Ay.Bz – Az.By)i + (Az.Bx – Ax.Bz)j + (Ax.By – Ay.Bx)k.
Selain itu, perkalian silang memiliki sifat AxB = -BxA.
Untuk menyelesaikan perkalian silang dua buah vektor kita dapat menggunakan
konsep determinan matriks 3×3. Salah satu cara untuk mencari determinan matriks
3×3 adalah dengan metode Sarrus, untuk memahami metode ini silahkan
membaca referensi – referensi lain tentang metode Sarrus.
Untuk
menghitung nilai perkalian silang AxB = R, kita dapat
menggunakan konsep determinan matriks 3×3 dengan cara menyusun matriks vektor A
dan B menjadi matriks berukuran 3×3 dengan menambahkan matriks vektor
satuan [i j k] pada baris pertama, kemudian menempatkan matriks vektor A
pada baris kedua dan matriks vektor B pada baris ketiga. Kita dapat
memperoleh nilai R dengan cara mencari determinan dari matriks 3×3 tersebut.Melalui
penggunaan konsep determinan kita dapa melihat kesesuaian antara bentuk aljabar
determinan matriks 3×3 dengan rumus yang kita miliki untuk mencari nilai hasil perkalian
silang vektor AxB = (Ay.Bz – Az.By)i + (Az.Bx – Ax.Bz)j
+ (Ax.By – Ay.Bx)k.
Uraian di
atas adalah metode analisis vektor dengan menggunakan pendekatan matriks. Kita
bisa memandang sebuah vektor sebagai suatu bentuk matriks dan menggunakan
operasi matematika yang berlaku pada matriks untuk mencari nilai dari hasil
operasi matematika dasar pada vektor yang bersangkutan. Melalui pendekatan ini
kita dapat menyederhanakan analisis vektor sehingga terhindar dari keharusan
untuk menulis rumus yang cukup panjang. Selain itu, sifat – sifat vektor
satuan dapat diterapkan pada pendekatan matriks. Akan tetapi, pendekatan
matriks menuntut ketelitian yang cukup tinggi karena operasi pada matriks
melibatkan nilai – nilai yang memiliki koordinat posisi yang berbeda – beda dan
letak nilai tersebut sangat mempengaruhi hasil operasi matriks.
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Matriks adalah kumpulan
bilangan-bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris dan kolom
sehingga membentuk persegi panjang dan bujur sangkar dimana panjang dan
lebarnya ditunjukkan oleh kolom dan baris yang ditulis diantara dua tanda
kurung, yaitu ( ) dan [ ].
Pada dasarnya dalam kehidupan sehari-hari kita sering
berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah
matematika. Dengan kata lain kita selalu bersentuhan dengan persoalan-persoalan
yang berkaitan dengan matematika entah itu kita sadari ataupun tidak. Agar
mudah difahami maka persoalan tersebut diubah kedalam bahasa atau persamaan
matematika supaya persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Diatas juga
telah dijeleskan macam-macam matriks, aljabar matriks, nilai eigen dan vektor
eigen serta penerapan matriks dalam ilmu fisika. Tetapi terkadang suatu
persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel,
sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara
variabel-variabelnya.
B.
Saran
Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang
paling tidak disukai oleh anak-anak. Kenyataan di lapangan membuktikan
cukupbanyak siswa yang tidak suka bahkan membenci mata pelajaran matematika.
Dalam benak mereka matematika merupakan mata pelajaran yang sangat sulit untuk
dimengerti bahkan membosankan.
Hal ini menjadi dilema bagi para pendidik dan
para ahli, karena matematika merupakansalah satu pengetahuan untuk sains dan
teknologi yang sangat perlu bagi kelanjutan pembangunan. Apalagi dalam memasuki
abad ke -21 yangditandai dengan kemajuan dalam perkembangan IPTEK, pengetahuan
siapdan kepiawaian berpikir logis yang dikembangakan dalam pelajaranmatematika
sangat diperlukan.
Dalam
menghadapi era globalisasi yang diiringi dengan perkembangan IPTEK yang sangat
pesat, maka peningkatan kualitas-kualitas sumber daya manusia mempunyai posisi
yang strategis bagi keberhsilan dan kelanjutan pembangunan nasional. Oleh sebab
itu, upaya tersebut mutlak harus mendapat perhatian yangsungguh-sungguh dan
harus dirancang secara sistematis dan seksama berdasarkan pemikiran yang
matang. Wadah yang tepat bagi upaya peningkatan kualitas sumberdaya manussia
adalah pendidikan.
Ada beberapa
indikator dalam peningkatan mutu
pendidikan antara lain melalui peningkatan kinerja guru dan peningkatan
mutupelajaran yang melibatkan MBS, Pakem, serta peran serta masyarakat
(PSM).Dalam kaitannya dengan Pakem, guru dituntut untuk menciptakan situasi
pembelajaran yang kondusif, yaitu pembelajaran yang aktif, kreatif, efektif,
danmenyenangkan. Situasi pakem tersebut harus diupayakan untuk semua mata
pelajaran.
Dengan
begitu, diharapkan peningkatan mutu pendidikn pendidikan dapat tercapaisecara
optimal. Guru sebagai faktor penentu dan paling berpengaruh dalam hal
menanamkan konsep terhadap siswa. Penguasaan guru terhadap materi pelajaran,
kemampuan guru dalam memilih dan menggunakan metode pembelajaran serta
kemampuan guru dalam menetapkan media pembelajaran sangat menentukan terhadap
keberhasilan proses pembelajaran, di samping adanya potensi dan kemauan siswa
sendiri.
DAFTAR PUSTAKA
Ruminta.2009.Matriks Persamaan Linier dan Pemograman
Linier.
Bandung:Rekayasa Sains.
http://feriantoraharjo.files.wordpress.com/2009/09/05_eigen_value.pdf
Diakses
pada tanggal: 30-11-2013 pukul: 13:45
http://xprashp.wordpress.com/2010/10/31/analisis-vektor-dengan-pendekatan-matriks/
diakses pada
tanggal 01-12-2013 pukul 14:07
diakses pada
tanggal 01-12-2013 pukul 14:07
http://ghose-smkitpesat.blogspot.com/2012/02/matriks.html
http://paradoks77.blogspot.com/2011/08/nilai-eigen-dan-vektor-eigen.html
http://achidayat.lecture.ub.ac.id/2012/12/nilai-eigen-teori-dan-interpretasinya-dalam-analisa-forex/
diakses pada
tanggal 04 12 2013 pukul 22:04
Tidak ada komentar:
Posting Komentar