v Kompetensi
Dasar dan Indikator
|
Kompetensi dasar |
Indikator |
|
3.1 Menjelaskan metode pembuktian
pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan
induksi matematika. |
3.1.1
Menjelaskan pengertian induksi matematika |
|
3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi
matematika |
|
|
3.1.3 Menerapkan prinsip induksi matematika
dalam membuktikan rumus jumlahan barisan bilangan |
|
|
3.1.4 Menerapkan prinsip induksi matematika
dalam membuktikan pernyataan keterbagian |
|
|
3.1.5 Menerapkan prinsip induksi matematika
dalam membuktikan pernyataan ketidaksamaan |
|
|
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi
matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan,mketidaksamaan,
keterbagian. |
4.1.1 Mengaplikasikan Metode pembuktian dalam
masalah kontekstual. |
v Peta Konsep
v Materi
A. Pengertian
Induksi matematika
Induksi matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan
untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk
bilangan asli. Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku didalam
matematika. Induksi matematika dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu
pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, bukan untuk
menemukan formula.
B. Prinsip
Induksi Matematika
Induksi matematika memiliki
beberapa prinsip, Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan
asli. Pernyataan P(n) benar
jika memenuhi langkah berikut ini:
1.
Langkah Awal (basic Step): P(1) benar.
2.
Langkah Induksi (induction Step): jika
P(k) benar,
maka
P(k+1) benar, untuk setiap k bilangan asli.
Pada proses
pembuktian dengan prinsip Induksi Matematika, untuk langkah awal tidak selalu
dipilih untuk n=1, n= 2, dan n= 3, tetapi dapat dipilih sembarang
nilai n sedemikian hingga dapat mempermudah supaya langkah awal
terpenuhi . selanjutnya, yang ditemukan pada langkah awal merupakan modal untuk
langkah induksi. Artinya, jika P(1) benar, maka P(2) benar, jika P(2) benar
maka P(3) benar begitu seterusnya hingga disimpilkan P(k) benar. Dengan
menggunakan P(k) benar maka akan ditunjukkan P(k+1) benar. Jika P(n)
memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka formula P(n) terbukti
benar. Jika salah satu dari kedua prinsip tidak dipenuhi, maka formula P(n)
salah.
C. Bentuk-bentuk Penerapan
Induksi Matematika
a) Penerapan
Induksi matematika pada Barisan bilangan
Misalkan ada
sebuah barisan bilangan asli N=1,2,3,4,5......,n. Diketahui bahwa
jumlahan dari barisan pertama sampai ke n adalah 
. Dari
pernyataan tersbut akan dibuktikan bahwa adalah jumlahan dari barisan bilangan asli N
dari 1 sampai n.
Akan
digunakan induksi matematika untuk membuktikan penyataan tersebut.
Buktikan bahwa 1+2+3+....+n= .
1. Langkah
basis P(1)
= == 
benar
2. Langkah
induksi
Anggap p(k) benar, sehingga hipotesis
kita adalah 
sehingga dapat
menggunakan hipotesis untuk membuktikan bahwa P(k+1) benar, 
kita akan menggunakan ruas kiri dan
menggunakan hipotesis induksi untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
= 
= 
=
=
=
benar
Setelah membuktikan langkah 1 dan 2
benar dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n)
benar untuk setiap bilangan asli n.
Contoh :
Suatu penyataan menyatakan bahwa
jumlahan bilangan ganjil yang berurutan 
.
Buktikan pernyataan bahwa pernyataan tersebut benar!
1. Langkah
basis P(1)=1
benar
2. Langkah
induktif
Anggap P(k)=
benar, 
Akan dibuktikan bahwa P(k+1)
juga benar
P(k+1)= 
=
=
=
benar
b) Penerapan
Induksi matematika pada Keterbagian
Sebelum kita
melangkah lebih jauh tentang penerapan induksi matematika, perlu ditegaskan
makna keterbagian dalam hal ini, yaitu habis dibagi bukan hanya dapat dibagi.
Tentu kamu dapat membedakan antara dapat dibagi dengan habis dibagi. Misalnya,
32 habis dibagi 4, tetapi 32 tidak habis dibagi oleh 6. Pada subbab ini, kita
akan mengkaji bagaimana penerapan prinsip induksi matematika pada konsep
keterbagian suatu formula bilangan asli. Mari kita cermati masalah berikut ini.
Contoh 1
Dengan
induksi matematika tunjukkan bahwa 
habis dibagi 4, untuk n bilangan asli.
Penyelesaian:
Kita misalkan
P(n)=
dengan n bilangan asli
a. Langkah
basis
Untuk n(2) maka 
= 25-1=24 habis dibagi 4. benar
b. Langkah
induksi
Anggap P(k) 
habis dibagi 4 (hipotesis), maka akan
ditunjukkan P(k+1)=
juga habis dibagi 4.
= 5.
= (4+1).
= 
,
dengan 
kelipatan 4 pasti habis dibagi 4 dan
(hipotesis) habis dibagi 4
Karena P(n) memenuhi kedua prinsip
induksi matematika maka terbukti bahwa habis dibagi 4, untuk n bilangan asli.
Contoh 2
Buktikan bahwa 
habis dibagi 8 untuk setiap n bilangan asli!
Penyelesaian:
Kita misalkan P(n)=
habis dibagi 8 untuk setiap n bilangan asli
a. Langkah
basis
P(2)= 
= 
= 80
habis dibagi 8. benar
b. Langkah
induksi
Anggap P(k) 
habis dibagi 8 benar (hipotesis). Akan
dibuktikan bahwa P(k+1) 
habis dibagi 8 juga benar.
Bukti:
= 
= 
= 
= 
= 
+ , dg adalah kelipatan 8 pasti habis dibagi 8
habis dibagi 8 (hipotesis)
Karena P(n) memenuhi kedua prinsip
induksi matematika maka terbukti bahwa habis dibagi 8 adalah benar, untuk setiap n
bilangan asli.
c) Penerapan
Induksi matematika pada Ketidaksamaan (ketaksamaan)
Pada subbab
ini kita akan memperluas kajian penerapan prinsip induksi matematika dalam
formula yang dinyatakan dengan ketidaksamaan matematik. Untuk lebih jelasnya
mari kita cermati contoh berikut ini.
Contoh 1
Buktikan
bahwa 
untuk 
dan n bilangan asli.
Penyelesaian:
Kita
misalkan P(n) 
untuk dan n bilangan asli.
a. Langkah
basis
P(5)= 
= 20< 32 benar
b. Langkah
induksi
Anggap P(k)= 
benar untuk (hipotesis), akan dibuktikan bahwa P(k+1)=
juga benar.
Bukti:
= 
< 
(hipotesis)
< 
<
= 2.
= 
Karena P(n) memenuhi kedua prinsip
induksi matematika maka terbukti bahwa
benar
untuk dan n bilangan asli.
Contoh 2
Buktikan 
untuk setiap 
dengan n adalah bilangan asli.
Penyelesaian:
Kita
misalkan P(n)= untuk setiap dengan n adalah bilangan asli.
a. Langkah
basis
P(3) = 
= 
= 16 < 18 benar
b. Langkah
induksi
Anggap P(k)= 
benar untuk 
(hipotesis), selanjutnya akan dibuktikan bahwa
P(k+1)= 
juga benar.
Bukti:
= 
< 
< 
= 2 (
= 2
benar
Karena P(n)
memenuhi kedua prinsip induksi matematika maka terbukti bahwa
untuk setiap dengan n adalah bilangan asli.
d) Aplikasi
induksi matematika dalam masalah kontekstual
Induksi
matematika adalah metode pembuktian suatu pernyataan, kita akan gunakan metode
ini untuk membuktikan suatu pernyataan yang ada dalam kehidupan nyata.
Misalkan
ada suatau acara yang dihadiri oleh beberapa orang, pada acara tersebut setiap
orang yang hadir saling berjabatangan, banyaknya jabatangan tersebut dapat
dinyatakan dengan jumlahan barisan seperti berikut:
P(n)= 1+2+3+....+(n-3)+(n-2)+(n-1)
= 
, untuk n
adalah banyaknnya orang dan n 
(jabatanagn minimal dilakukan oleh dua orang. Buktikan
bahwa pernyataan tentang banyaknya jumlah jabatangan tersebut adalah benar.
1+2+3+....+(n-3)+(n-2)+(n-1)
= 
,
Bukti:
a. Langkah
basis
P(2) =
=
= 1
benar
b. Langkah
induksi
P(n=k) Anggap P(k) benar,
sehingga hipotesis kita adalah 
sehingga dapat
menggunakan hipotesis untuk membuktikan bahwa P(k+1) benar, 
= 
Kita
akan menggunakan ruas kiri dan menggunakan hipotesis induksi untuk memperoleh
bentuk pada ruas kanan.
=
benar
Setelah
membuktikan langkah 1 dan 2 benar dengan menggunakan induksi matematika kita
dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap n .
v Uji
Kompetensi
1. Tunjukkan
bahwa 
, 
2. Buktikan
bahwa 
, 
dan 
3. Tunjukkan
bahwa 
habis dibagi 5, 
dan
4. Buktikan
bahwa 
dan
5. Tunjukkan
bahwa 3 adalah faktor dari 
,
Selamat Mengerjakan
v Rangkuman
Induksi
matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan
kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan
bulat(asli).
Induksi matematika memiliki beberapa prinsip, Misalkan P(n)
merupakan suatu pernyataan bilangan asli.
Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini:
1.
Langkah Awal (basic Step): P(1) benar.
2.
Langkah Induksi (induction Step): jika
P(k) benar, maka P(k+1) benar, untuk setiap k
bilangan asli.
Pembutkian Induksi matematika dapat diterapkan dalam jumlahan
barisan bilangan, keterbagian dan ketidaksamaan.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar