MATERI KELAS 9_( PYTHAGORAS )

 

Sejarah Pythagoras

Pythagoras (582 SM – 496 SM) lahir di pulau Samos, di daerah Ionia, Yunani Selatan. Salah satu peninggalan Phytagoras yang paling terkenal hingga saat ini adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat sisi miring suatu segitiga siku - siku sama dengan jumlah kuadrat dari sisi - sisinya. Yang unik, ternyata rumus ini 1.000 tahun sebelum masa Phytagoras, orang-orang Yunani sudah mengenal penghitungan “ajaib” ini. Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dianggap sebagai temuan Pythagoras, karena ia yang pertama membuktikan pengamatan ini secara matematis. Pythagoras menggunakan metode aljabar untuk menyatakan teorema ini.

Teorema pythagoras berbunyi:

“Dalam segitiga siku-siku dengan kaki a dan b dan sisi miring c. a² + b² = c²“

ΔABC siku-siku di C pada gambar di samping. Dan P, Q, R merupakan luas masing-masing persegi yang mengelilingi segitiga siku-siku tersebut. Dari kegiatan pengamatan pada halaman sebelumnya, pola yang terlihat adalah P + Q = R. Jika c adalah panjang hipotenusa segitiga siku-siku. Sedangkan a dan b merupakan panjang sisi-sisi siku-sikunya, maka persamaan di atas dapat kita tuliskan sebagai berikut, a² + b² = c²

Pembuktian Teorema Pythagoras :

a.      Pembuktian oleh Euclid

Gambar di samping digunakan oleh Euclid, ahli matematika Yunani kuno (sekitar abad ke-3 SM) untuk membuktikan Teorema Pythagoras pada bukunya yang berjudul“Elements”. Coba pikirkan bagaimana cara dia membuktikannya

1.     Tunjukkan bahwa luas ΔEBC = luas ΔEBA

2.     Tunjukkan bahwa luas ΔEBA = luas ΔCBF

3.     Tunjukkan bahwa luas ΔCBF = luas ΔKBF

 

b.     Pembuktian oleh Bhaskara

Gambar di bawah ini digunakan oleh Bhaskara, ahli matematika dari India (1114 - 1158). Coba pikirkan bagaimana cara dia membuktikan Teorema Pythagoras.

c.      Pembuktian oleh Einstein

Gambar di samping digunakan oleh fisikawan dari Jerman, Albert Einstein (1879 – 1955), untuk membuktikan Teorema Pythagoras. Coba pikirkan bagaimana cara dia membuktikannnya

1.     Dengan menggunakan ΔABC ~ ΔCBD, nyatakan panjang BD dalam a dan c.

2.     Dengan menggunakan ΔABC ~ ΔACD, nyatakan panjang AD dalam b dan c.

Triple Pythagoras

Bilangan-bilangan asli seperti (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) yang memenuhi persamaan a²+b²=c² disebut Tripel Pythagoras. Tripel Pythagoras (a, b, c) dapat dicari dengan persamaan berikut ini. Jika m dan n adalah dua bilangan asli yang berbeda, dan m>n maka

A = m² - n1² = 3                               B = 2mn = 4                            C = m² + n² = 5

Sebagai contoh, jika kita substitusikan m = 2 dan n = 1 ke dalam persamaan matematika berikut

A = 2² - 1² = 3                                 B = 2 x 2 x 1 = 4                      C = 2² + 1² = 5

Maka didapatkan Tripel Pythagoras (3, 4, 5)

 Segitiga Siku-Siku Khusus

Teorema Pythagoras dapat digunakan untuk melakukan penyelidikan terhadap sifat menarik dari segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga siku-siku yang besar sudutnya 30° - 60° - 90°. Jumlah semua sudut pada segitiga adalah 180°. Jika dua sudut diketahui adalah 90° dan 60°, maka sudut yang ketiga pasti 30°. Pada segitiga ini memiliki hubungan khusus antar sisinya. Dengan mengetahui satu sisi saja, kita bisa menentukan kedua sisi yang lain. Mari mencari hubungan antar sisi-sisi segitiga tersebut

Penggunaan Teorema Pythagoras 

Mencari Panjang Diagonal dan Tinggi Segitiga

Sebuah batang pohon berdiameter 20 cm akan dipotong menjadi sebuah balok kayu yang penampangnya berbentuk persegi. Coba pikirkan

berapa cm kah sisi persegi itu? bagaimana caranya memotong pohon ini agar dapat dihasilkan balok kayu yang paling tebal