RPP KELAS 11_( INDUKSI MATEMATIKA )

 

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

 

Satuan Pendidikan             : SMA N 1 Maluku Tengah

Mata Pelajaran                   : Matematika-Wajib

Kelas/Semester                   : XI / 1

Materi pokok                      : Induksi Matematika

Waktu                                 : 1 × 2 JP ( @ 45 menit )

 

A.      Kompetensi Inti

KI 1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

KI 2: Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian darisolusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

KI 3: Memahami, menerapkan,dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

KI 4:  Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif,serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

 

B.      Kompetensi Dasar

1.1            Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya

2.1  Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percayadiri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah

2.2  Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika

3.1  Mendeskripsikan prinsip induksi matematika dan menerapkannya dalam membuktikan rumus jumlah deret bilangan.

4.1 Menganalisis penerapan induksi matematika dalam kehidupan sehari-hari

 

C.      Indikator Pencapaian Kompetensi:

1.1.1   Berdoa sebelum memulai aktifitas pembelajaran.

1.1.2   Menunjukkan rasa syukur kepada Sang Pencipta ketika mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Induksi Matematika

2.1.1 Menunjukkan sikap kerjasama dalam belajar kelompok

2.2.1 Menunjukkan rasa ingin tahu dalam proses pembelajaran dan mengerjakan tugas mandiri yang diberikan secara mandiri

3.1.1 Menjelaskan prinsip induksi matematika dalam membuktikan rumus jumlah deret bilangan

4.1.1 Menemukan dan menjelaskan aplikasi dari induksi matematika

 

D.      Tujuan Pembelajaran

1.     Siswa dapat memahami prinsip induksi matematika

2.     Siswa dapat menjelaskan prinsip induksi matematika

3.     Siswa dapat membuktikan rumus jumlah deret bilangan dengan induksi matematika

4.     Siswa dapat mengambil pelajaran berkaitan dengan sikap yang didapat dari prinsip induksi matematika

5.     Siswa dapat mengamalkan pelajaran yang didapat di kehidupan sehari-hari

 

E.      Materi Pembelajaran

Induksi matematika (mathematical induction) adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli. Akan tetapi sebelum membahas mengenai induksi matematika, kita akan membahas suatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan induksi matematika, yaitu prinsip terurut rapi (well-ordering principle) dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai berikut.

 

Setelah mengingat mengenai himpunan bilangan asli, sekarang perhatikan prinsip terurut rapi dari bilangan asli berikut.

Prinsip Terurut Rapi Bilangan Asli

 

Setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari N memiliki anggota terkecil.

 

Secara lebih formal, prinsip tersebut menyatakan bahwa untuk setiap himpunan tidak kosong V yang merupakan himpunan bagian dari N, maka ada v₀ anggota V sedemikian sehingga v₀ ≤ v untuk setiap v anggota V.

Berdasarkan prinsip terurut rapi di atas, kita akan menurunkan prinsip induksi matematika yang dinyatakan dalam bentuk himpunan bagian N.

 

Prinsip Induksi Matematika

 

Misalkan S adalah himpunan bagian N yang memiliki 2 sifat:

(1) S memiliki anggota bilangan 1; dan

(2) Untuk setiap k anggota N, jika k anggota S, maka k + 1 anggota S. Maka diperoleh S = N.

Sebelum membuktikan prinsip induksi matematika di atas secara formal, kita akan mencoba memahaminya dengan menggunakan efek domino seperti berikut.

Pada gambar (a) di atas kita melihat sebaris 4 domino pertama yang ditata rapi dengan jarak antara masing-masing domino yang berdekatan kurang dari tinggi domino. Sehingga, jika kita mendorong domino nomor k ke kanan, maka domino tersebut akan merebahkan domino nomor (k + 1). Proses ini ditunjukkan oleh gambar (b). Kita tentu akan berpikir bahwa apabila proses ini berlanjut, maka domino nomor (k + 1) tersebut juga akan merebahkan domino di sebelah kanannya, yaitu domino nomor (k + 2), dan seterusnya. Bagian (c) menggambarkan bahwa dorongan terhadap domino pertama merupakan analogi dari bilangan 1 menjadi anggota himpunan S. Hal ini merupakan langkah dasar dari proses efek domino. Selanjutnya, jika k anggota S akan menyebabkan (k + 1) anggota S, akan memberikan langkah induktif dan melanjutkan proses perebahan domino. Sehingga, pada akhirnya kita akan melihat bahwa semua domino akan rebah. Atau dengan kata lain, domino yang memiliki nomor urut semua bilangan asli akan rebah. Hal ini merupakan analogi dari S = N. Bagaimana dengan bukti formal dari prinsip induksi matematika?

 

Bukti Andaikan S ≠ N. Maka himpunan N – S bukan merupakan himpunan kosong, sehingga berdasarkan prinsip terurut rapi, himpunan tersebut memiliki anggota terkecil m. Karena 1 anggota S (berdasarkan hipotesis 1), maka m > 1. Tetapi hal ini akan mengakibatkan bahwa m – 1 juga merupakan bilangan asli. Karena m – 1 < m dan madalah anggota terkecil dari N – S, maka m – 1 anggota S.

Sekarang kita akan menggunakan hipotesis 2 bahwa k = m – 1 merupakan anggota S, maka k + 1 = (m – 1) + 1 = m juga anggota S. Akan tetapi pernyataan ini akan kontradiksi bahwa m bukan anggota S. Sehingga N – S adalah himpunan kosong atau dengan kata lain N = S.

Selain diformulasikan seperti di atas, Prinsip Induksi Matematika juga dapat dinyatakan sebagai berikut.

Untuk setiap n anggota N, misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan tentang n. Apabila:

1.     P(1) benar.

2.     Untuk setiap k anggota N, jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar.

Maka P(n) benar untuk setiap n anggota N.

Hubungan Prinsip Induksi Matematika tersebut dengan sebelumnya adalah dengan memisalkan S = {n anggota N | P(n) adalah benar}. Sehingga kondisi 1 dan 2 pada Prinsip Induksi Matematika di awal secara berturut-turut berkorespondensi dengan kondisi 1 dan 2 pada Prinsip Induksi Matematika terakhir. Selain itu, kesimpulan S = N juga berkorespondensi dengan kesimpulan P(n) benar untuk setiap n anggota N.

Asumsi bahwa “jika P(k) benar” dinamakan hipotesis induksi. Untuk membangun hipostesis 2, kita tidak perlu menghiraukan kebenaran dari P(k), tetapi yang perlu kita hiraukan adalah validitas dari “jika P(k), maka P(k + 1)”. Misalkan, jika kita akan menguji pernyataan P(n): “n = n + 5”, maka secara logis kondisi (2) adalah benar, dengan menambahkan 1 pada kedua sisi P(k) untuk mendapatkan P(k + 1). Akan tetapi, karena pernyataan P(1): “1 = 6” adalah salah, kita tidak dapat menggunakan Induksi Matematika untuk menyimpulkan bahwa n = n + 5 untuk setiap n anggota N.

Pada beberapa kasus, kadang P(n) bernilai salah untuk beberapa bilangan asli tertentu tetapi bernilai benar untuk n ≥ n₀. Prinsip Induksi Matematika dapat dimodifikasi untuk mengatasi kasus seperti itu.

 

Prinsip Induksi Matematika (versi kedua)

 

Misalkan n₀ anggota N dan misalkan P(n) merupakan pernyataan untuk setiap bilangan asli n ≥ n₀. Apabila:

(1) Pernyataan P(n₀) benar;

(2) Untuk setiap k ≥ n₀, jika P(k) benar mengakibatkan P(k + 1) benar.
Maka P(n) benar untuk semua n ≥ n₀.

 

Berikut ini adalah beberapa contoh yang menunjukkan bagaimana Induksi Matematika dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan tentang bilangan asli.

 

Contoh 1: Pengubinan dengan Tromino

Diberikan suatu papan catur 2ⁿ × 2ⁿ (n > 0), dengan salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan, buktikan bahwa papan catur tersebut dapat ditutup sempurna dengan tromino. (Tromino adalah gambar yang terdiri dari 3 persegi yang sisinya saling bersinggungan, tetapi 3 persegi tersebut tidak dalam satu barisan yang berjajar)

 

Bukti Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 karena secara jelas papan catur 2¹ × 2¹ yang salah satu persegi bagian pojok dihilangkan memiliki bentuk yang sama dengan tromino. Andaikan pernyataan tersebut benar untuk k anggota N. Diberikan papan catur dengan ukuran 2^{k + 1} × 2^{k + 1} yang salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan. Bagilah papan catur tersebut menjadi 4 papan catur 2^k × 2^k A, B, C, dan D, dengan satu di antaranya, yaitu A, memiliki bagian yang salah satu persegi di pojok hilang. Tempatkan 1 tromino, T, di tengah-tengah papan catur 2^{k + 1} × 2^{k + 1} sedemikian sehingga persegi-persegi tromino tersebut berada di bagian B, C, dan D. Kemudian gunakan kasus n = k untuk menutup bagian A, B – T, C – T, dan D – T dengan tromino. Proses tersebut akan menutup papan catur 2^{k + 1} × 2^{k + 1} tepat sempurna dengan tromino-tromino. (Gambar di bawah ini mengilustrasikan untuk kasus n = 3).

Contoh 2: Jumlah n Bilangan Asli Pertama

Buktikan untuk setiap n anggota N, jumlah dari n bilangan asli pertama diberikan oleh rumus,

Bukti Kita akan mencoba membuktikan pernyataan di atas dengan Prinsip Induksi Matematika yang dibahas di awal. Misalkan S adalah himpunan yang memuat n anggota Nsedemikian sehingga rumus di atas bernilai benar. Kita harus menguji apakah kondisi (1) dan (2) pada Prinsip Induksi Matematika terpenuhi. Jika n = 1, maka 1 = 1/2 ∙ 1 ∙ (1 + 1) sehingga 1 anggota S, dan (1) terpenuhi. Selanjutnya, andaikan k anggota S maka kita akan menunjukkan k + 1 juga akan menjadi anggota S. Jika k angota S, maka

Jika kita menambahkan k + 1 pada persamaan di atas, maka akan diperoleh

Karena persamaan di atas merupakan pernyataan untuk n = k + 1, maka kita menyimpulkan bahwa k + 1 anggota S. Sehingga, kondisi (2) terpenuhi. Sebagai hasilnya, menurut Prinsi Induksi Matematika kita memperoleh bahwa S = N, atau dengan kata lain persamaan tersebut berlaku untuk semua bilangan asli.

 

Prinsip Induksi Matematika

 

Untuk setiap bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika

1.     P(1) benar, dan

2.     untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar

maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

 

Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah:

 

Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)

 

Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).

 

Soal 1: Pendahuluan

Tentukan pernyataan P(k + 1) untuk masing-masing pernyataan P(k) berikut.

1.     P(k): S_k = [k²(k + 1)²]/4

2.     P(k): S_k = 1 + 5 + 9 + … + [4(k – 1) – 3] + (4k – 3)

3.     P(k): k + 3 < 5k²

4.     P(k): 3^k ≥ 2k + 1

Pembahasan

1.     Kita substitusi k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).

2.     Untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1), kita ganti k pada pernyataan P(k) dengan k + 1.

3.     Kita substitusi k dengan k + 1, dan kita peroleh

4.     Serupa dengan soal-soal sebelumnya, kita substitusi k pada pernyataan P(k) dengan k+ 1 untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1).

Ketika menggunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus penjumlahan (seperti pada Soal 2), akan sangat membantu jika kita berpikir bahwa S_{k + 1} = S_k + a_{k + 1}, di mana a_{k + 1} adalah suku ke-(k + 1) dari penjumlahan tersebut.

 

Soal 2: Menggunakan Induksi Matematika

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus

untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Pembahasan Induksi matematika terdiri dari dua bagian yang berbeda.

1.     Pertama, kita harus menunjukkan bahwa rumus tersebut benar ketika n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, karena

2.     Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama adalah menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bulat k. Langkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selanjutnya, k + 1. Anggap bahwa rumus

bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa rumus S_{k + 1} = (k + 1)² benar.

Dengan menggabungkan hasil pada langkah (1) dan (2), kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

 

F.       Metode Pembelajaran

Metode pembelajaran koperatif (cooperative learning) menggunakan kelompok diskusi dengan pendekatan saintifik (scientific) dalam model pembelajaran Problem Based Learning.

 

 

 

G.     Media, Alat dan Sumber Pembelajaran

Media : White Board, Tayangan Power Point dan Lembar Kerja Siswa

Alat :     Laptop, LCD

Sumber Pembelajaran :

-        Buku Siswa Matematika Kelas XI Semester 1

-        Buku Guru Matematika Kelas XI

 

H.   Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran

 

Kegiatan	Deskripsi Kegiatan	Alokasi Waktu
Pendahuluan	1.     Guru mengucapkan salam kepada siswa 2.     Guru meminta ketua kelas memimpin do’a sebelum memulai pembelajaran. 3.     Guru memberikan motivasi 4.     Guru mengecek kahadiran siswa. 5.     Guru memberikan gambaran tentang pentingnya membuktikan kebenaran suatu pernyataan dalam kehidupan sehari-hari. 6.     Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa ingin tahu siswa sehingga diharapkan dapat aktif dalam proses pembelajaran, siswa diajak memecahkan masalah pembuktian suatu pernyataan. 7.     Guru menyampaikan indikator pencapaian kompetensi yang ingin dicapai. 8.     Guru mengingatkan kembali tentang deret bilangan.	10 menit
Inti	Pertemuan pertama Fase 1: Mengorientasi siswa kepada masalah Mengamati 1.     Guru memberikan suatu permasalahan dalam bentuk pernyataan kontekstual tentang fenomena alam atau lingkungan. Siswa diminta mengamati dan menyebutkan hal-hal yang  mengarah ke suatu pembuktian pernyataan  tersebut (proses penalaran deduktif ) dan sebaliknya dari kasus-kasus tersebut,apakah valid untuk menyimpulkan kebenaran pernyataan dimaksud?(proses penalaran induktif ) 2.     Dengan berkelompok siswa diminta untuk mengamati dan menyelidiki beberapa pernyataan matematik yang diberikan, proses penalaran deduktif, dan sebaliknya dari kasus-kasus tersebut, apakah sudah dapat membuktikan dan menyimpulkan kebenaran dari pernyataan dimaksud (proses penalaran induktif )     Fase 2: Mengorganisasikan siswa Menanya : Dengan diskusi kelompok, siswa diminta untuk  menuliskan  pertanyaan yang diharapkan  muncul berkenaan dengan induksi matematika.   Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok Mengumpulkan informasi Dengan berdiskusi kelompok siswa menggali informasi bagaimana induksi matematika digunakan dalam pembuktian matematika.   Fase 4 : Mengembangkan dan menyajikan hasil karya Mengasosiasikan Dengan penalaran deduktif (prinsip induksi matematika), dengan diskusi kelompok  siswa di ajak untuk menalar, apakah  pernyataan P(n) yang berkenaan dengan semua bilangan asli n, jika memenuhi dua sifat P(1) benar dan Untuk setiap bilangan asli k,jika P(k) benar maka P(k+1) juga benar, sudah dapat untuk menyimpulkan P(n) tersebut ?  Mengkomunikasikan Perwakilan dari salah satu kelompok diminta untuk mempresentasikan hasilnya di depan kelas dan kelompok lainnya dipersilahkan untuk membandingkan hasil diskusinya.     Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah Mengasosiasikan Peserta didik menganalisa masukan, tanggapan dan koreksi dari guru	35 menit
	Pertemuan kedua Fase 1: Mengorientasi siswa kepada masalah Mengamati Dengan berkelompok siswa diminta untuk mengamati dan menyelidiki beberapa pernyataan matematik (proses penalaran deduktif ).   Fase 2: Mengorganisasikan siswa Menanya Dengan diskusi kelompok, siswa diminta untuk menuliskan  pertanyaan  yang diharapkan  muncul berkenaan dengan induksi matematika.   Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok Mengumpulkan informasi Dengan berdiskusi bersama kelompoknya siswa menggali informasi prinsip induksi matematika dan prinsip induksi matematika yang diperluas digunakan dalam pembuktian matematika. Serta aplikasi dari induksi matematika.   Fase 4:Mengembangkan dan menyajikan hasil karya Mengasosiasi Dengan prinsip induksi matematika dan prinsip induksi matematika diperluas, dengan diskusi kelompok  siswa diajak untuk menalar, apakah  pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n? Dan bagaimana langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematika yang diperluas bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n≥m, untuk suatu bilangan asli m? Mengkomunikasikan Perwakilan dari salah satu kelompok diminta untuk mempresentasikan hasilnya di depan kelas dan kelompok lainnya dipersilahkan untuk membandingkan hasil diskusinya. Guru membantu siswa apabila ditemukan kesulitan atau terjadi ketidaksepahaman antar siswa.   Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah Mengasosiasikan Peserta didik menganalisa masukan,tanggapan dan koreksi dari guru	35 menit
Penutup	1.     Siswa diminta menyimpulkan tentang induksi matematika. 2.     Guru memberikan PR beberapa soal pembuktian dengan induksi matematika 3.     Guru mengajak siswa untuk bersyukur kepada Allah SWT telah diberi pengetahuan tentang Fungsi Invers dengan ucapan Hamdalah bersama-sama. 4.     Guru mengucapkan salam	10    menit

 

I.      PENILAIAN

Aspek yang Dinilai	Teknik Penilaian	Waktu
Sikap Agama	Pengamatan	Selama proses Pembelajaran
Sikap Sosial	Pengamatan	Selama proses Pembelajaran
Pengetahuan	Tes dan Pengamatan	Selama proses Pembelajaran
Keterampilan	Unjuk kerja	Selama proses Pembelajaran

 

Tindak lanjut

·       Siswa yang mendapat nilai ≥ 7 akan diberi penghargaan berupa pujian.

·       Siswa yang mendapat nilai < 7 akan diberi remedial berupa tugas membuat mindmap dari subbab yang telah dipelajari.

 

 

Mengetahui, Guru Pamong		Cirebon,        Agustus 2017   Guru Praktikan,
Fadjaruddin, S.Pd. NIP. 196908092005011007		Muhammad Wildan H F NIM. 1414153134

Kepala Sekolah

Muhaemin, M.Pd.I NIP. 196806151997031002

 

 

 

 

LAMPIRAN 1

 

LEMBAR PENGAMATAN SIKAP

Petunjuk/Ket: Lembar ini bertujuan untuk menilai sikap sosial setiap siswa. Guru memberikan tanda ceklis (√) pada kolom SB/B/KB setiap siswa yang sesuai dengan hasil pengamatan.

Indikator:        SB       : Sangat Baik

                        B         : Baik

                        KB       : Kurang Baik

 

NO

Nama siswa

Rajin

Santun

Kerjasama

Disiplin

SB

B

KB

SB

B

KB

SB

B

KB

SB

B

KB

1

Ade Liyani

2

Ahmad Rifai

3

Amina Tuzzahro

4

Aulia Karina Firdaus

5

Desi Ratna Sari

6

Dhayu Omela

7

Dinda Aisyah Widiastuti

8

Fadiah Aisyah

9

Fahrur Rozi

10

Farhan M Romdoni

11

Gita Yunita

12

Hudzaifah Hamzah

13

Indra Rizki Agung

14

Izzah Qonitah

15

Khififah

16

Lusci

17

Mochammad Adjie Setyadji

18

Muhamad Sulaim Maulidi

19

Muhammad Rifqi Marhaen

20

Munawaroh

21

Putra Apriliansyah Rohaerdi

22

Putri Melati

23

Rayuningsih

24

Rihan Permana

25

Sabrina Permata Aghni

26

Shofi Fadilah Azizah

27

Sihabudin

28

Siti Hasti Nurhelena

29

Susan Apriliani

30

Titi Nur

31

Wasini

32

Wulan Nur Safitri

 

 

 

 

LAMPIRAN 2

 

LEMBAR PENGAMATAN PENGETAHUAN

Petunjuk : Instrumen penilaian ini berupa pengerjaan tugas yang diberikan

Soal.

a.      Instrumen Penilaian

Tugas Kelompok

1.     Bentuk     bernilai positif untuk setiap n bilangan asli ? Silidiki untuk 10 bilangan asli pertama!

2.     Tulislah langkah-langkah pembuktian dengan prinsip induksi matematika pada soal berikut :

Kunci Jawaban   :

1.

N	Nilai	Benar /Salah
1		Benar
2		Benar
3		Benar
4		Benar
5		Benar
6		Benar
7		Benar
8		Benar
9		Benar
10		Benar

Untuk 10 bilangan asli pertama tampak bahwa pernyataan tersebut benar.

Disimpulkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n bilangan asli.

2.   

P(1)=

Untuk setiap bilangan asli k ,apabila P(k) benar maka P(k+1) benar.

 

Kerjasama  : Sangat aktif dalam aktivitas kelompok = 4

                      Aktif dalam aktivitas kelompok = 3

                      Kurang aktif = 2

                      Tidak aktif = 1

Rasa ingin tahu:         Sangat sering bertanya dalam aktivitas kelompok = 4

                          Sering bertanya dalam aktivitas kelompok = 3

                          Jarang bertanga dalam aktivitas kelompok = 2

              Tidak pernah bertanya dalam aktivitas kelompok =1

 

Penilaian Pengetahuan

Kunci Jawaban   :

Benar 9 – 10 bilangan  = 4 Benar 7 -8   bilangan   = 3  Benar 5- 6  bilangan   = 2  Benar bilangan   = 1

1.

N	Nilai	Benar /Salah
1		Benar
2		Benar
3		Benar
4		Benar
5		Benar
6		Benar
7		Benar
8		Benar
9		Benar
10		Benar

Untuk 10 bilangan asli pertama tampak bahwa pernyataan tersebut benar.

Disimpulkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n bilangan asli.

2.   

1  P(1)=   .............................................................................SKOR  2

3.     Untuk setiap bilangan asli k ,apabila P(k) benar maka P(k+1) benar..........SKOR

NO	Nama siswa	Ketepatan Waktu Mengupulkan	Kebenaran Jawaban	Rapi dalam Penulisan	Total Skor
1	Ade Liyani
2	Ahmad Rifai
3	Amina Tuzzahro
4	Aulia Karina Firdaus
5	Desi Ratna Sari
6	Dhayu Omela
7	Dinda Aisyah Widiastuti
8	Fadiah Aisyah
9	Fahrur Rozi
10	Farhan M Romdoni
11	Gita Yunita
12	Hudzaifah Hamzah
13	Indra Rizki Agung
14	Izzah Qonitah
15	Khififah
16	Lusci
17	Mochammad Adjie Setyadji
18	Muhamad Sulaim Maulidi
19	Muhammad Rifqi Marhaen
20	Munawaroh
21	Putra Apriliansyah Rohaerdi
22	Putri Melati
23	Rayuningsih
24	Rihan Permana
25	Sabrina Permata Aghni
26	Shofi Fadilah Azizah
27	Sihabudin
28	Siti Hasti Nurhelena
29	Susan Apriliani
30	Titi Nur
31	Wasini
32	Wulan Nur Safitri

Perhitungan skor akhir :

 

 

 

 

 

LAMPIRAN 3

LEMBAR PENGAMATAN KETERAMPILAN

Petunjuk/Ket: Lembar ini bertujuan untuk menilai sikap sosial setiap siswa. Guru memberikan tanda ceklis (√) pada kolom ST/T/KT setiap siswa yang sesuai dengan hasil pengamatan.

Indikator:        ST       : Sangat Terampil

                        T          : Terampil

                        KT       : Kurang Terampil

NO	Nama siswa	Menyajikan
		ST	T	KT
1	Ade Liyani
2	Ahmad Rifai
3	Amina Tuzzahro
4	Aulia Karina Firdaus
5	Desi Ratna Sari
6	Dhayu Omela
7	Dinda Aisyah Widiastuti
8	Fadiah Aisyah
9	Fahrur Rozi
10	Farhan M Romdoni
11	Gita Yunita
12	Hudzaifah Hamzah
13	Indra Rizki Agung
14	Izzah Qonitah
15	Khififah
16	Lusci
17	Mochammad Adjie Setyadji
18	Muhamad Sulaim Maulidi
19	Muhammad Rifqi Marhaen
20	Munawaroh
21	Putra Apriliansyah Rohaerdi
22	Putri Melati
23	Rayuningsih
24	Rihan Permana
25	Sabrina Permata Aghni
26	Shofi Fadilah Azizah
27	Sihabudin
28	Siti Hasti Nurhelena
29	Susan Apriliani
30	Titi Nur
31	Wasini
32	Wulan Nur Safitri