MATERI KELAS 9_( PYTHAGORAS )

 

Sejarah Pythagoras

Pythagoras (582 SM – 496 SM) lahir di pulau Samos, di daerah Ionia, Yunani Selatan. Salah satu peninggalan Phytagoras yang paling terkenal hingga saat ini adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat sisi miring suatu segitiga siku - siku sama dengan jumlah kuadrat dari sisi - sisinya. Yang unik, ternyata rumus ini 1.000 tahun sebelum masa Phytagoras, orang-orang Yunani sudah mengenal penghitungan “ajaib” ini. Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dianggap sebagai temuan Pythagoras, karena ia yang pertama membuktikan pengamatan ini secara matematis. Pythagoras menggunakan metode aljabar untuk menyatakan teorema ini.

Teorema pythagoras berbunyi:

“Dalam segitiga siku-siku dengan kaki a dan b dan sisi miring c. a² + b² = c²“

ΔABC siku-siku di C pada gambar di samping. Dan P, Q, R merupakan luas masing-masing persegi yang mengelilingi segitiga siku-siku tersebut. Dari kegiatan pengamatan pada halaman sebelumnya, pola yang terlihat adalah P + Q = R. Jika c adalah panjang hipotenusa segitiga siku-siku. Sedangkan a dan b merupakan panjang sisi-sisi siku-sikunya, maka persamaan di atas dapat kita tuliskan sebagai berikut, a² + b² = c²

Pembuktian Teorema Pythagoras :

a.      Pembuktian oleh Euclid

Gambar di samping digunakan oleh Euclid, ahli matematika Yunani kuno (sekitar abad ke-3 SM) untuk membuktikan Teorema Pythagoras pada bukunya yang berjudul“Elements”. Coba pikirkan bagaimana cara dia membuktikannya

1.     Tunjukkan bahwa luas ΔEBC = luas ΔEBA

2.     Tunjukkan bahwa luas ΔEBA = luas ΔCBF

3.     Tunjukkan bahwa luas ΔCBF = luas ΔKBF

 

b.     Pembuktian oleh Bhaskara

Gambar di bawah ini digunakan oleh Bhaskara, ahli matematika dari India (1114 - 1158). Coba pikirkan bagaimana cara dia membuktikan Teorema Pythagoras.

c.      Pembuktian oleh Einstein

Gambar di samping digunakan oleh fisikawan dari Jerman, Albert Einstein (1879 – 1955), untuk membuktikan Teorema Pythagoras. Coba pikirkan bagaimana cara dia membuktikannnya

1.     Dengan menggunakan ΔABC ~ ΔCBD, nyatakan panjang BD dalam a dan c.

2.     Dengan menggunakan ΔABC ~ ΔACD, nyatakan panjang AD dalam b dan c.

Triple Pythagoras

Bilangan-bilangan asli seperti (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) yang memenuhi persamaan a²+b²=c² disebut Tripel Pythagoras. Tripel Pythagoras (a, b, c) dapat dicari dengan persamaan berikut ini. Jika m dan n adalah dua bilangan asli yang berbeda, dan m>n maka

A = m² - n1² = 3                               B = 2mn = 4                            C = m² + n² = 5

Sebagai contoh, jika kita substitusikan m = 2 dan n = 1 ke dalam persamaan matematika berikut

A = 2² - 1² = 3                                 B = 2 x 2 x 1 = 4                      C = 2² + 1² = 5

Maka didapatkan Tripel Pythagoras (3, 4, 5)

 Segitiga Siku-Siku Khusus

Teorema Pythagoras dapat digunakan untuk melakukan penyelidikan terhadap sifat menarik dari segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga siku-siku yang besar sudutnya 30° - 60° - 90°. Jumlah semua sudut pada segitiga adalah 180°. Jika dua sudut diketahui adalah 90° dan 60°, maka sudut yang ketiga pasti 30°. Pada segitiga ini memiliki hubungan khusus antar sisinya. Dengan mengetahui satu sisi saja, kita bisa menentukan kedua sisi yang lain. Mari mencari hubungan antar sisi-sisi segitiga tersebut

Penggunaan Teorema Pythagoras 

Mencari Panjang Diagonal dan Tinggi Segitiga

Sebuah batang pohon berdiameter 20 cm akan dipotong menjadi sebuah balok kayu yang penampangnya berbentuk persegi. Coba pikirkan

berapa cm kah sisi persegi itu? bagaimana caranya memotong pohon ini agar dapat dihasilkan balok kayu yang paling tebal

MATERI KELAS 9_( PELUANG )

 

A. Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian 

Percobaan adalah: suatu kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk menghasilkan sesuatu.
Ruang Sampel adalah : Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu kejadian (percobaan)
Titik Sampel adalah : Anggota-anggota dari ruang sampel 
Kejadian atau Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh :

1). Misalkan sebuah dadu bermata enam dilemparkan satu kali maka tentukan!

1. Hasil yang mungkin muncul

2. Ruang sampel

3. Titik sampel

4. Banyaknya kejadian mata dadu ganjil

5. Banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3

Jawab
1. Hasil yang mungkin muncul adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6.

2. Ruang sampel atau S = {1,2,3,4,5,6}.

3. Titik sampel sama dengan hasil yang mungkin yaitu mata dadu 1,2,3,4,5 dan 6.

4. Misalkan A adalah kejadian mata dadu ganjil. Kejadian A={1,3,5}.
    Banyaknya kejadian mata dadu ganjil adalah  n(A) =3.

5.  Misalkan B adalah Kejadian mata dadu kurang dari 3. Kejadian B={1,2}.
    Banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3 adalah n(B)=2.

B) Peluang suatu kejadian

Kejadian atau Peristiwa adalah Himpunan bagian dari ruang sampel.
Peluang suatu kejadian adalah Banyaknya kejadian dibagi dengan banyaknya ruang sampel.
Misalkan P(A) adalah Peluang Kejadian A, dan S adalah Ruang sampel.
Maka

P(A)     : Peluang kejadian A
n(A)     : Banyaknya anggota dalam kejadian A
n(S)      : Banyaknya anggota ruang Sampel

Contoh:

1). Sebuah dadu dilambungkan satu kali. Tentukan peluang

a)     Munculnya mata dadu ganjil 

b)     Munculnya mata dadu kurang dari 3

Jawab:
n(S)=6

a)     Misalkan A adalah Kejadian Ganjil

Kejadian A={1,3,5}, n(A) =3
Maka Peluang munculnya mata dadu ganjil adalah
= 3/6=1/2

b)     Misalkan B adalah Kejadian mata dadu kurang dari 3

Kejadian B={1,2}, n(B)=3
Maka peluang munculnya mata dadu kurang dari 3 adalah = 3/6=1/2

 

MATERI KELAS 8_( SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL )

KELAS VIII

SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

1.     Pengertian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

SPLDV adalah sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan dengan masing-masing persamaan mempunyai pengganti variabel x dan y.

Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan dua peubah x dan y adalah:

    ax + by = c

    px + qy = r

Dengan :

x, y disebut variabel

a, b, p, q disebut koefisien

c, r disebut konstanta

2.      Membuat model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linier dua variabel.

Contoh soal :

Dua tahun yang lalu seorang ibu usianya 6 kali usia anaknya. Jika 18 tahun yang akan datang umur ibu tersebut dua kali umur anaknya. Buatlah bentuk matematika dari permasalaan di atas.

Jawab :

Ø Langkah pertama : Buat pemisalan

        Ibu = x

        Anaknya = y

Ø Langkah kedua : Membuat model matematika dari kalimat pertama

       x – 2 = 6 (y – 2)

Ø Langkah ketiga : Menyelesaikan model matematika yang pertama

    x – 2 = 6y – 12

    x – 6y = -12 + 2

    x – 6y = -10………(1)

Ø Langkah keempat : Membuat model matematika dari kalimat kedua

    x + 18 = 2 (y + 18)

Ø Langkah kelima : Menyelesaikan model matematika yang kedua

     x + 18 = 2y + 36

     x – 2y = 36 – 18

     x – 2y = 18……….(2)

jadi deperoleh 2 persamaan yaitu:

        x – 6y = -10……..(1)

        x – 2y = 18……...(2)

3.     Motode Penyelesaikan sistem persamaan liniear dua variabel (SPLDV)

1.      Metode subtitusi

Metode substitusi bertujuan untuk mengganti nilai suatu variabel pada suatu persamaan lainnya. Caranya dapat kamu liat pada contoh berikut.

Contoh :

2x + y = 4………(1)

6x – y = 2………(2)

Jawab :

Ø  Dari dua persamaan di atas cari dulu niali x, sehingga dapat ubah y-nya dalam variabel x.

               2x + y = 4 => y = -2x + 4

Ø  Kemudian, substitusi nilai y ke dalam persamaan (2)

        6x – y = 2

                     6x – (-2x + 4) = 2

                         6x + 2x – 4 = 2

        6x + 2x = 2 + 4

                8x = 6

                  x =

                  x =

Ø   Setelah itu, substitusikan niali x = ke persamaan y = -2x + 4

     y = -2x + 4

     y = -2  + 4

     y =  + 4

     y =

     y = -6

jadi, x =  dan y = -6

2.      Metode eliminasi

Metode eliminasi berujuan untuk mengeliminasikan (menghilangkan) salah satu variabel, sehingga nilai variabel yang lainnya bisa diketahui. Caranya dapat kamu liat pada contoh di bawah ini.

Contoh :

       x + 3y = 7……..(1)

       x – 6y = 9……...(2)

jawab :

Ø karena koefisien x dari kedua persamaan sudah sama, maka dapat langsung diselesaikan menggunakan operasi penjumlahan untuk menghilangkan nilai x.

       x + 3y = 7……..(1)

       x – 6y = -11……(2)

                            ──────────── ─

                                    9y = 18

                                       y =

                                       y = 2

Ø untuk mencarinilai x, samakan koefisien y :

                      x + 3y = 7   │x6 │6x + 18y = 42

                      x – 6y = -11│x3 │3x – 18y = -33

                                                    ────────── +

                                                      9x      = 9

                                                        x      =

                                                        x      = 1

                     jadi, x = 1 dan y = 2   

3.      Metode gabungan

Metode ini merupakan gabungan dari metode eliminasi dan substitusi. Caranya, kamu dapat menggunakan metode eliminasi untuk mencari nilai x terlebih dahulu, kemudian ganti variabel x dengan nilai x yang sudah diperoleh dengan menggunakan metode substitusi untuk memperoleh nilai y. caranya pada contoh di bwah ini :

Contoh :

      -x + y = 6…….(1)

      2x – y = 3……(2)

Jawab :

Ø Pertama kita mencari nilai x terlibih dahulu dengan menggunakan metode eliminasi. Maka unktuk mencari nilai x samakan koefisien y.

                 -x + y = 6

                2x – y  = 4

Ø Karena koefisien y dari kedua persamaan sudah sama, maka dapat langsung diselesaikan menggunakaan operasi penjumlahan untuk menghilangkan nilai y.

                                 -x + y = 6

                                2x – y = 4

                                ────── +

                                x        = 10

Ø Setelah diperoleh nilai x, substitusi nilai x ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai y.

         -x + y = 6……(1)

      - (10) + y = 6

                   y = 6 + 10

                   y = 16

jadi, x = 10 dan y = 16

4.     Menyelesaikan masalahlyang berkaitan dengan sistem persamaan linier dua variabel.

Contoh soal :

         Umur Mumun 7 tahun lebih tua dari umur Mama, sedangkan umur mereka adalah 43 tahun. Tentukan umur Mumun dan umur Mama? 

Jawab :

Ø  Buat pemisalan

         Umur Mumun = x

         Umur Mama = y

Bentuk persamaan dari soal diatas

         x – y = 7………(1)

         x + y = 43……..(2)

Ø  Karena koefisien y dari kedua persamaan sudah sama, maka dapat langsung diselesaikan menggunakaan operasi penjumlahan untuk menghilangkan nilai y.

         x – y = 7

         x + y = 43

       ─────── +

        2x       = 50

          x       =

          x       = 25

Ø  Setelah diperoleh nilai, substitusi nilai x = 25 ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai y.

         x – y = 7

       25 – y = 7

              y = 7 – 25