ADINDA P. W. MULYANA
UNIVERSITAS PATTIMURA PENDIDIKAN MATEMATIKA
Minggu, 15 Januari 2023
Minggu, 01 Januari 2023
MATERI KELAS 12_( GEOMETRI BIDANG RUANG )
Geometri Bidang Ruang
Geometri Bidang Ruang: Matematika Wajib
Geometri bidang ruang adalah bangun yang memiliki ruang atau
bangun tiga dimensi, dimana sisi sisinya saling membatasi
Materi geometri bidang ruang ini pada dasarnya telah diajarkan
ketika berada di bangku sekolah dasar. Materi tersebut juga masih dapat dibagi
lagi menjadi beberapa jenis bentuk. Apa saja jenis jenis geometri bidang ruang
itu? Setiap macam geometri bidang ruang pada umumnya memiliki rumus yang
berbeda beda karena dari segi bentuknya juga sudah tidak sama.
Rumus Geometri Bidang Ruang
dapat diartikan sebagai bangun yang memiliki ruang
atau bangun tiga dimensi, dimana sisi sisinya saling membatasi. Bangun ini
memiliki rumus volume dan rumus luas permukaannya. Di bawah ini terdapat
penjelasan mengenai rumus geometri bidang ruang yaitu sebagai berikut:
Kubus
Jenis yang pertama ialah kubus. Kubus merupakan bangun ruang
yang sisi sisinya sama panjang. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar
kubus di bawah ini:
Kubus memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu sebagai
berikut:
· Volume (isi) Kubus : V = s x
s x s atau V = s³
· Luas permukaan Kubus : Lp = 6
x s²
· Keliling Kubus = 12 x rusuk
· Luas salah satu sisi Kubus =
rusuk x rusuk
Balok
Jenis geometri bidang ruang selanjutnya ialah balok. Balok
merupakan bangun ruang yang memiliki ukuran panjang, lebar dan tinggi. Rumus
geometri bidang ruang ini berbeda dengan rumus bangun ruang lainnya. Untuk
lebih jelasnya dapat anda simak gambar balok di bawah ini:
balok memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu sebagai
berikut:
· Volume (isi)
Balok : V = p x l x t atau V = panjang x lebar x tinggi
· Luas permukaan
Balok : Lp = (2 x p x t) + (2 x p x l) + (2 x l x t)
· Keliling Balok =
4 x (p + l + t)
· Diagonal Ruang =
√(p² + l² + t²)
Prisma Segitiga
Jenis geometri bidang ruang selanjutnya ialah prisma
segitiga. Prisma segitiga merupakan bangun ruang yang memiliki atas (tutup) dan
alas berbentuk segitiga. Rumus geometri bidang ruang ini berbeda dengan rumus
bangun ruang lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar prisma
segitiga di bawah ini:
Prisma segitiga memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu
sebagai berikut:
· Volume (isi)
Prisma : V = Luas alas segitiga x tinggi atau V = ½ x p x l x t
· Luas permukaan
Prisma : Lp = keliling alas segitiga x tinggi + (2 x luas alas segitiga)
Limas Segiempat
Jenis geometri bidang ruang selanjutnya ialah limas
segiempat. Limas segiempat merupakan bangun ruang yang memiliki alas berbentuk
segiempat. Rumus geometri bidang ruang ini berbeda dengan rumus bangun ruang
lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar limas segiempat di bawah
ini:
limas segiempat memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu
sebagai berikut:
· Volume
(isi) Limas : V = 1/3 x luas alas x tinggi atau V = 1/3 x p x l x t
· Luas
permukaan Limas : Lp = luas alas + luas selubung limas
Limas Segitiga
Jenis geometri bidang ruang selanjutnya ialah limas
segiempat. Limas segiempat merupakan bangun ruang yang memiliki alas berbentuk
segitiga. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar limas segitiga di bawah
ini:
limas segitiga memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu
sebagai berikut:
· Volume
(isi) Limas : V = 1/3 x luas alas x tinggi atau V = 1/3 x (1/2 x a x b) x t
· Luas
permukaan Limas : Lp = luas alas + luas selubung limas
Tabung
Jenis geometri bidang ruang selanjutnya ialah Tabung. Tabung
merupakan bangun ruang yang memiliki atas (tutup) dan alas berbentuk lingkaran.
Rumus geometri bidang ruang ini berbeda dengan rumus bangun ruang lainnya.
Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar tabung di bawah ini:
tabung memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu
sebagai berikut:
· Volume
(isi) Tabung : V = π x r² x t atau V = Luas alas x tinggi
· Luas
permukaan Tabung : Lp = (2 x π x r x r) + (π x d x t) atau V = (2 x luas alas)
+ (keliling alas x tinggi)
Kerucut
Jenis geometri bidang ruang selanjutnya ialah Kerucut.
Kerucut merupakan bangun ruang yang memiliki alas berbentuk lingkaran. Rumus
geometri bidang ruang ini berbeda dengan rumus bangun ruang lainnya. Untuk
lebih jelasnya dapat anda simak gambar kerucut di bawah ini:
Geometri bidang ruang berbentuk kerucut memiliki beberapa
rumus di dalamnya yaitu sebagai berikut:
· Volume
(isi) Kerucut : V = 1/3 x π x r² x t
· Luas
permukaan Kerucut : Lp = (π x r²) + (π x r x s)
Bola
Jenis geometri bidang ruang selanjutnya ialah Bola. Bola
merupakan bangun ruang yang memiliki rusuk berbentuk lengkungan. Untuk lebih
jelasnya dapat anda simak gambar bola di bawah ini:
bola memiliki beberapa rumus di dalamnya yaitu sebagai
berikut:
· Volume
(isi) Bola : V = 4/3 x π x r³
· Luas
permukaan Bola : Lp = 4 x π x r²
MATERI KELAS 12_( UKURAN PEMUSATAN DATA )
UKURAN PEMUSATAN DATA
1. Mean (Rata-rata)
Mean adalah salah satu ukuran gejala pusat. Mean dapat dikatakan sebagai wakil kumpulan data. Menentukan mean dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan seluruh nilai data, kemudian membaginya dengan banyaknya data.Jumlah seluruh data: banyak data
atau, dapat dirumuskan dengan:
𝑥̅ = ∑ x / n
Keterangan:
𝑥̅ = rerata atau mean
n = banyaknya data
∑ x = jumlah seluruh data
Contoh:
Hitung rerata atau mean dari data berikut: 6, 5, 9, 7, 8, 8, 7, 6.
Penyelesaian:
𝑥̅ = 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 : 8
= 56 : 8
= 7, maka mean dari bilangan tersebut adalah 7.
2. Median (Kuartil)
Median (Me) atau kuartil adalah nilai tengah dari sekumpulan data setelah diurutkan dari data yang terkecil sampai data terbesar, maupun sebaliknya. Apabila suatu data mempunyai median, maka mediannya tunggal.
Jika banyak data merupakan bilangan ganjil, maka median terletak pada data ke ½ (n + 1), dan jika banyak data bilangan genap maka median terletak - n/2 dan data - n/2 + 1.
Contoh 1
Tentukan median dari data berikut: 70, 65, 50, 40, 35, 45, 70, 80, 90. Diketahui bahwa banyak data yang tersedia merupakan bilangan ganjil.
Setelah diurutkan datanya menjadi: 35, 40 , 45, 50, 65, 70, 70, 80, 90
Jadi mediannya adalah = 65.
Contoh 2
Tentukan median dari data berikut: 3, 2, 5, 2, 4, 6, 6, 7, 9, 6.
Pada contoh ini banyak data yang tersedia merupakan bilangan genap, median akan terletak di antara dua buah data.
Setelah diurutkan: 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 9.
Me = (5 + 6): 2= 5,5.
Maka, median yang terletak dari data tersebut adalah 5,5.
3. Modus
Modus adalah data yang paling sering muncul. Modus merupakan ukuran pemusatan untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi. Sekumpulan data yang diperoleh, memungkinkan untuk memiliki nilai modus yang tidak tunggal atau mungkin juga tidak memilikinya.
Contoh:
Tentukan modus dari data berikut: 50, 35, 70, 90, 70, 40, 40, 40, 65, 45, 70, 80,
Penyelesaian:
Urutkan data terlebih dahulu, sehingga menjadi:
35, 40, 40, 40, 45, 50, 65, 70, 70, 70, 80, 90
Kita mengetahui bahwa nilai 40 berjumlah 3, dan nilai 70 berjumlah 3, maka modus dari data tersebut adalah nilai 40, dan 70.
MATERI KELAS 11_( INDUKSI MATEMATIKA )
v Kompetensi
Dasar dan Indikator
Kompetensi dasar |
Indikator |
3.1 Menjelaskan metode pembuktian
pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan
induksi matematika. |
3.1.1
Menjelaskan pengertian induksi matematika |
3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi
matematika |
|
3.1.3 Menerapkan prinsip induksi matematika
dalam membuktikan rumus jumlahan barisan bilangan |
|
3.1.4 Menerapkan prinsip induksi matematika
dalam membuktikan pernyataan keterbagian |
|
3.1.5 Menerapkan prinsip induksi matematika
dalam membuktikan pernyataan ketidaksamaan |
|
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi
matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan,mketidaksamaan,
keterbagian. |
4.1.1 Mengaplikasikan Metode pembuktian dalam
masalah kontekstual. |
v Peta Konsep
v Materi
A. Pengertian
Induksi matematika
Induksi matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan
untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk
bilangan asli. Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku didalam
matematika. Induksi matematika dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu
pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, bukan untuk
menemukan formula.
B. Prinsip
Induksi Matematika
Induksi matematika memiliki
beberapa prinsip, Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan
asli. Pernyataan P(n) benar
jika memenuhi langkah berikut ini:
1.
Langkah Awal (basic Step): P(1) benar.
2.
Langkah Induksi (induction Step): jika
P(k) benar,
maka
P(k+1) benar, untuk setiap k bilangan asli.
Pada proses
pembuktian dengan prinsip Induksi Matematika, untuk langkah awal tidak selalu
dipilih untuk n=1, n= 2, dan n= 3, tetapi dapat dipilih sembarang
nilai n sedemikian hingga dapat mempermudah supaya langkah awal
terpenuhi . selanjutnya, yang ditemukan pada langkah awal merupakan modal untuk
langkah induksi. Artinya, jika P(1) benar, maka P(2) benar, jika P(2) benar
maka P(3) benar begitu seterusnya hingga disimpilkan P(k) benar. Dengan
menggunakan P(k) benar maka akan ditunjukkan P(k+1) benar. Jika P(n)
memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka formula P(n) terbukti
benar. Jika salah satu dari kedua prinsip tidak dipenuhi, maka formula P(n)
salah.
C. Bentuk-bentuk Penerapan
Induksi Matematika
a) Penerapan
Induksi matematika pada Barisan bilangan
Misalkan ada
sebuah barisan bilangan asli N=1,2,3,4,5......,n. Diketahui bahwa
jumlahan dari barisan pertama sampai ke n adalah . Dari
pernyataan tersbut akan dibuktikan bahwa adalah jumlahan dari barisan bilangan asli N
dari 1 sampai n.
Akan
digunakan induksi matematika untuk membuktikan penyataan tersebut.
Buktikan bahwa 1+2+3+....+n= .
1. Langkah
basis P(1)
= == benar
2. Langkah
induksi
Anggap p(k) benar, sehingga hipotesis
kita adalah
sehingga dapat
menggunakan hipotesis untuk membuktikan bahwa P(k+1) benar,
kita akan menggunakan ruas kiri dan
menggunakan hipotesis induksi untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
=
=
=
=
= benar
Setelah membuktikan langkah 1 dan 2
benar dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n)
benar untuk setiap bilangan asli n.
Contoh :
Suatu penyataan menyatakan bahwa
jumlahan bilangan ganjil yang berurutan .
Buktikan pernyataan bahwa pernyataan tersebut benar!
1. Langkah
basis P(1)=1
benar
2. Langkah
induktif
Anggap P(k)= benar,
Akan dibuktikan bahwa P(k+1)
juga benar
P(k+1)=
=
=
= benar
b) Penerapan
Induksi matematika pada Keterbagian
Sebelum kita
melangkah lebih jauh tentang penerapan induksi matematika, perlu ditegaskan
makna keterbagian dalam hal ini, yaitu habis dibagi bukan hanya dapat dibagi.
Tentu kamu dapat membedakan antara dapat dibagi dengan habis dibagi. Misalnya,
32 habis dibagi 4, tetapi 32 tidak habis dibagi oleh 6. Pada subbab ini, kita
akan mengkaji bagaimana penerapan prinsip induksi matematika pada konsep
keterbagian suatu formula bilangan asli. Mari kita cermati masalah berikut ini.
Contoh 1
Dengan
induksi matematika tunjukkan bahwa habis dibagi 4, untuk n bilangan asli.
Penyelesaian:
Kita misalkan
P(n)= dengan n bilangan asli
a. Langkah
basis
Untuk n(2) maka = 25-1=24 habis dibagi 4. benar
b. Langkah
induksi
Anggap P(k) habis dibagi 4 (hipotesis), maka akan
ditunjukkan P(k+1)= juga habis dibagi 4.
= 5.
= (4+1).
= ,
dengan kelipatan 4 pasti habis dibagi 4 dan
(hipotesis) habis dibagi 4
Karena P(n) memenuhi kedua prinsip
induksi matematika maka terbukti bahwa habis dibagi 4, untuk n bilangan asli.
Contoh 2
Buktikan bahwa habis dibagi 8 untuk setiap n bilangan asli!
Penyelesaian:
Kita misalkan P(n)= habis dibagi 8 untuk setiap n bilangan asli
a. Langkah
basis
P(2)= = = 80
habis dibagi 8. benar
b. Langkah
induksi
Anggap P(k) habis dibagi 8 benar (hipotesis). Akan
dibuktikan bahwa P(k+1) habis dibagi 8 juga benar.
Bukti:
=
=
=
=
= + , dg adalah kelipatan 8 pasti habis dibagi 8
habis dibagi 8 (hipotesis)
Karena P(n) memenuhi kedua prinsip
induksi matematika maka terbukti bahwa habis dibagi 8 adalah benar, untuk setiap n
bilangan asli.
c) Penerapan
Induksi matematika pada Ketidaksamaan (ketaksamaan)
Pada subbab
ini kita akan memperluas kajian penerapan prinsip induksi matematika dalam
formula yang dinyatakan dengan ketidaksamaan matematik. Untuk lebih jelasnya
mari kita cermati contoh berikut ini.
Contoh 1
Buktikan
bahwa untuk dan n bilangan asli.
Penyelesaian:
Kita
misalkan P(n) untuk dan n bilangan asli.
a. Langkah
basis
P(5)=
= 20< 32 benar
b. Langkah
induksi
Anggap P(k)= benar untuk (hipotesis), akan dibuktikan bahwa P(k+1)=
juga benar.
Bukti:
=
< (hipotesis)
<
<
= 2.
=
Karena P(n) memenuhi kedua prinsip
induksi matematika maka terbukti bahwa benar
untuk dan n bilangan asli.
Contoh 2
Buktikan untuk setiap dengan n adalah bilangan asli.
Penyelesaian:
Kita
misalkan P(n)= untuk setiap dengan n adalah bilangan asli.
a. Langkah
basis
P(3) =
=
= 16 < 18 benar
b. Langkah
induksi
Anggap P(k)= benar untuk (hipotesis), selanjutnya akan dibuktikan bahwa
P(k+1)= juga benar.
Bukti:
=
<
<
= 2 (
= 2 benar
Karena P(n)
memenuhi kedua prinsip induksi matematika maka terbukti bahwa untuk setiap dengan n adalah bilangan asli.
d) Aplikasi
induksi matematika dalam masalah kontekstual
Induksi
matematika adalah metode pembuktian suatu pernyataan, kita akan gunakan metode
ini untuk membuktikan suatu pernyataan yang ada dalam kehidupan nyata.
Misalkan
ada suatau acara yang dihadiri oleh beberapa orang, pada acara tersebut setiap
orang yang hadir saling berjabatangan, banyaknya jabatangan tersebut dapat
dinyatakan dengan jumlahan barisan seperti berikut:
P(n)= 1+2+3+....+(n-3)+(n-2)+(n-1)
= , untuk n
adalah banyaknnya orang dan n (jabatanagn minimal dilakukan oleh dua orang. Buktikan
bahwa pernyataan tentang banyaknya jumlah jabatangan tersebut adalah benar.
1+2+3+....+(n-3)+(n-2)+(n-1)
= ,
Bukti:
a. Langkah
basis
P(2) = == 1
benar
b. Langkah
induksi
P(n=k) Anggap P(k) benar,
sehingga hipotesis kita adalah sehingga dapat
menggunakan hipotesis untuk membuktikan bahwa P(k+1) benar, =
Kita
akan menggunakan ruas kiri dan menggunakan hipotesis induksi untuk memperoleh
bentuk pada ruas kanan.
=
benar
Setelah
membuktikan langkah 1 dan 2 benar dengan menggunakan induksi matematika kita
dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap n .
v Uji
Kompetensi
1. Tunjukkan
bahwa ,
2. Buktikan
bahwa , dan
3. Tunjukkan
bahwa habis dibagi 5, dan
4. Buktikan
bahwa dan
5. Tunjukkan
bahwa 3 adalah faktor dari ,
Selamat Mengerjakan
v Rangkuman
Induksi
matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan
kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan
bulat(asli).
Induksi matematika memiliki beberapa prinsip, Misalkan P(n)
merupakan suatu pernyataan bilangan asli.
Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini:
1.
Langkah Awal (basic Step): P(1) benar.
2.
Langkah Induksi (induction Step): jika
P(k) benar, maka P(k+1) benar, untuk setiap k
bilangan asli.
Pembutkian Induksi matematika dapat diterapkan dalam jumlahan
barisan bilangan, keterbagian dan ketidaksamaan.
Biodata Penulis
Nama : Adinda P. W. Mulyana Tanggal Lahir : 21 Maret 2003 Hobi : Traveling & Olah Raga Daerah Asal : Kota Surabaya Status : Single Fr...
-
Nama : Adinda P. W. Mulyana Tanggal Lahir : 21 Maret 2003 Hobi : Traveling & Olah Raga Daerah Asal : Kota Surabaya Status : Single Fr...
-
Geometri Bidang Ruang Geometri Bidang Ruang: Matematika Wajib Geometri bidang ruang adalah bangun yang memiliki ruang atau bangu...